傅立叶变换论文

傅里叶变换摘要本文旨在分析傅里叶变换的起源、分类及应用。本文从四个角度来分析傅里叶变化，分别是时域连续非周期、时域连续周期、时域离散非周期和时域离散周期。由连续时间信号进行理想抽样抽样的离散周期序列，引入DFT进行处理实现了计算机处理信号得出信号的频谱。关键字：傅里叶变换、DFT、理想抽样AbstractThisarticleaimstoanalyzetheorigin,classificationandapplicationofFouriertransform.FromtheperspectiveoffourFouriertransform,Arenon-periodiccontinuoustimedomain,timedomainsuccessivecycles,discretenon-periodictime-domainandtime-domaindiscretecycles.Idealsamplingdiscreteperiodicsequencebysamplingacontinuoustimesignal,DFTprocessingisintroducedandacomputerprocessingthesignalspectrumofthesignalderived.Keywords:Fouriertransform,DFT,overasample一、引言傅立叶是一位法国数学家和物理学家，原名是JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830),Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成，而傅里叶变换是一种将时间转化为频率的变化。二、傅里叶变换的分类根据原信号的类型，我们可以将傅里叶变换分为四种类型：2.1非周期连续信号傅里叶变换（FourierTransform）2.2周期连续信号傅里叶级数（FourierSeries）2.3非周期离散信号离散时域傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform）2.4周期离散信号离散傅里叶变化（DiscreteFourierTransform）三、连续时间信号的傅里叶的变换3.1周期连续信号当函数满足绝对可积时，利用傅里叶级数对周期信号的频谱进行分析。3.1.1三角函数形式的傅里叶级数：直流分量：3.1.2指数形式的傅里叶级数称为幅度谱，为相位谱，周期信号由基波分量和谐波分量组成，谐波分量的频率越高，所携带的能量就越少。周期信号的频谱只会出现在0，等离散频率点上，这种频谱称为离散谱。3.1.2非周期连续信号傅里叶正变换：傅里叶逆变换：非周期信号和周期信号样，也可以分解为许多不同频率的正、余弦分量。所不同的是，由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。同时由于周期趋于无限大，因此，对任一能量的有限信号，在各频率点的分量幅度趋于无限小，所以频谱不能用幅度表示，只能用频谱密度函数来表示。3.1.3周期信号的傅里叶变换将上式俩边取傅里叶变换：3.1.4周期信号的傅里叶级数和非周期信号傅里叶变换之间的关系周期信号f(t)的傅里叶级数：四、离散时间信号的傅里叶变换4.1时域离散傅里叶变换ntjjenxnxFTeXnx)()]([)()(的傅里叶变化定义为：序列nnxnxnxFT)()())((绝对可和既满足下式：存在条件是序列1(n)IFT(X(e))(e)2jjjxXed4.1.1时域离散傅里叶变换的性质：处。率在为周期的函数，最高频得到的频谱是以）（2DTFT1是常数其中啊）（，那么设）线性（baebXeaXnbxnaxFTnxFTeXnxFTeXjjjj,)())()(()]([)()),(()(22;1212211（3）时移和频移)()]([)()]([)),((000(0jnjjnjjeXnxeFTeXennxFTnxFTeX那么）（设（4）时域卷积定理)().())(()(*)()(jjeHeXnyFTnhnxny（5）频域卷积定理)().()]([)(*)(21)(nxnheYIFTeXeHeYjjjj则若（6）时域能量和频域能量之间的关系221(n)(e)2jnxXd4.1.2DTFT的物理意义：DTFT是序列的Z变换在单位圆上的连续取值。4.2离散傅里叶变换由于离散时域信号的频谱为周期连续谱，计算机处理很不方便，而离散周期信号是周期离散谱，因此可以选取周期离散序列的一个周期，进行离散傅里叶变换。4.2.1离散傅里叶的定义定义x(n)的N点傅里叶变换为：的傅里叶逆变换为：)(jeX10(k)[x(n)](n)W0,1......1NknNnXDFTxkNX(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)为：101(n)IDFT[X(k)](k)W0,1,2.....1NknNkxXnNNNjNeW2其中4..2.1DFT与Z变换之间的关系设序列x(n)的长度为M,其Z变换和N点的DFT分别为：10(z)ZT[x(n)](n)MnnXxz10X(k)[x(n)](n)W0,1......N1MknNNDFTxk比较上式可得俩者之间的关系式为：2(k)(z)0,1.......N1jKNzeXXk上式说明序列的x(n)d的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上等间隔距离采样。4.2.2DFT与DTFT之间的关系。且周期为隐含周期性，和的周期性，使得于均为有限长序列，但由和由于NkXnxWkXnxknN)()()()(11()00(kmN)(n)W(n)W(k)NNkmNnknNNnnXxxX拓的有限长序列的周期延为的序列都可以看做长度任何周期为NN(n)(nmN)mxx(n)(n)R(n)Nxx其物理意义为：有限长序列x(n)的N点傅里叶变换为X(k)正好是x(n)的周期序列周期延拓的序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的主值序列。五、总结四种傅里叶变换变换时间频率连续傅里叶变换连续、非周期性连续、非周期性傅里叶级数连续、周期性离散、非周期性离散时间傅里叶变换离散、非周期性连续、周期性离散傅里叶变换离散、周期性离散、周期性傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。最后还可以.利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号，它是一种特殊的积分变换。六、参考文献【1】2008.8高西全，丁玉梅数字信号处理第三版西安电子科技大学出版社【2】2000郑君里，杨为理信号与系统第二版高等教育出版社【3】TheScientistandEngineer'sGuidetoDigitalSignalProcessing，ByStevenW.Smith,Ph.D