立体几何拓展--正方体、长方体基本运算专属奥数讲义

1/10立体几何拓展--正方体、长方体基本运算(教师版)学科教师辅导讲义学员姓名：年级：五年级辅导科目：小学思维学科教师：上课时间授课主题立体几何拓展--正方体、长方体基本运算长方体和正方体的基本公式图形体积表面积知识图谱错题回顾长方体基本公式知识精讲2/10立体几何拓展--正方体、长方体基本运算(教师版)Vabc长方体2()Sabbcca长方体3Va正方体26Sa正方体重难点：长方体与正方体的棱长、表面积和体积计算．注意单位要统一．题模一：正方体相关计算例1.1.1正方体的棱长之和36分米，它的表面积是多少？体积是多少？【答案】54平方分米，27立方分米【解析】每条棱长36123分米，所以表面积为33654平方分米，体积为33327立方分米。例1.1.2将一个胶质的正方体扩大成另一个正方体，使新正方体的表面积是原正方体表面积的4倍，则新正方体的棱长是原正方体棱长的___________倍，体积是原正方体体积的___________倍．【答案】2；8【解析】正方体的棱长扩大n倍，则正方体的表面积扩大2n倍，体积扩大3n倍．所以新正方体的表面积是原正方体表面积的4224倍，则新正方体的棱长是原正方体棱长的2倍，体积是原正方体体积的8倍．例1.1.314个棱长为1的正方体在地面上堆成如图所示的几何体，将它的表面（包括与地面接触部分）染成红色，那么红色部分的面积是___________．abca三点剖析题模精选3/10立体几何拓展--正方体、长方体基本运算(教师版)【答案】42【解析】几何体从上面、下面看到的面积相等是339，左面、右面、前面、后面看到的面积相等是1236，故红色部分的面积是926442．题模二：长方体相关计算例1.2.1一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来(如图)，打结处要用1分米铁丝．这根铁丝总长至少为___________分米．【答案】43【解析】4222262221343分米．例1.2.2若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的2倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体积是___________．【答案】64【解析】根据长、宽、高的倍数关系，所以长方体的高为5641242，所以长方体的体积是2222364．例1.2.3一个长方体的体积是1560，它的长、宽、高均为自然数，它的棱长之和最少是________．【答案】140【解析】为使棱长之和最少，应让长、宽、高尽量接近．3156023513101213，此时棱长之和为4101213140．例1.2.4在一个长20米、宽8米、深1.6米的长方体游泳池的四壁及地面贴磁砖，磁砖是边长为0.2米的正方形，共需磁砖_________块．【答案】6240【解析】横向200.2100块，纵向80.240块，高1.60.28块，共2644/10立体几何拓展--正方体、长方体基本运算(教师版)1004081004026240块．例1.2.5将一个长、宽分别是13厘米和19厘米的长方形纸板的四角分别去掉边长为2厘米的正方形后，折成一个无盖的长方体容器，那么这个容器是多少立方厘米？【答案】270【解析】容易底面长13229cm，宽192215cm，高2cm，故容积为31592270cm．例1.2.6一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米．已知木板厚1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？【答案】208平方厘米；192立方厘米【解析】解法一：我们按下图的组合方式来求木板面积．（当然还有很多别的分割方法）此时木盒的下方木板长10厘米，宽8厘米．所以这块木板的面积为：10880平方厘米．左右两块木板长8厘米，宽514厘米．所以这两块木板的面积为：84264平方厘米．前后两块木板长10118厘米，宽514厘米．所以这两块木板的面积为：84264平方厘米．综上，构建这个木盒所需要的木板面积为：806464208平方厘米．此时木盒的容积也就是木盒的内部体积，也就是木板围住的内部长方体的体积，为：511011811486192立方厘米．解法二：从外面算起，木盒的体积为5108400立方厘米．而木盒的容积为511011811486192立方厘米．注意到木板体积正好等于木盒体积内部容积，即400192208立方厘米．100581115/10立体几何拓展--正方体、长方体基本运算(教师版)所以厚1厘米的木板一共有2081208平方厘米．例1.2.7一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面的面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是___________．【答案】32.3【解析】长方体侧面积为67.9219229.92平方分米，所以高为29.9217.61.7分米，体积为191.732.3立方分米．例1.2.8一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．求这个长方体的表面积．【答案】148平方厘米【解析】分别计算三种情况：240高宽，所以左右底面面积为：20高宽；390高长，所以前后底面面积为：30高长；496长宽，所以上下底面面积为：24长宽；长方体表面积22243020148长宽高长高宽平方厘米．题模三：综合应用例1.3.1一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于一个正方体的棱长总和，则长方体体积比正方体体积少___________立方厘米．【答案】2【解析】长方体的体积是3216立方厘米．长方体的棱长总和是321424厘米，所以正方体的棱长是24122厘米．正方体的体积是328立方厘米．所以长方体体积比正方体体积少2立方厘米．例1.3.2一个长方体的高减少2厘米后，表面积减少48平方厘米，成为一个正方体．正方体的体积是_________立方厘米．【答案】216【解析】设长方形的长为a厘米，宽为b厘米，则2248ab，所以12ab．又因为ab，所以6ab，则正方形的体积是36216平方厘米．例1.3.3一个长15厘米，宽6厘米，高4厘米的正方体的木块，可以截成多少块棱长2厘米的正方体木块？【答案】42块【解析】1527......1，623，422，所以可以截成73242个正方体木块．例1.3.4一块长方体木块长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米．要把它裁成大小相等的正方体小木块，不许有剩余，小正方体的棱长最大是___________分米．6/10立体几何拓展--正方体、长方体基本运算(教师版)【答案】0.3【解析】2.7270米厘米，1.818分米厘米，1.515分米厘米，27018,153，，所以小正方体的棱长的最大值是3厘米，即0.3分米．例1.3.5有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块最多能放多少块？【答案】56【解析】由于743，故恰好可以摆放两层．第一层摆长为5厘米、宽为4厘米、高为3厘米的长方体木块，共40512424块；第二层摆长为5厘米、宽为3厘米、高为4厘米的长方体木块，共40512332块．因此最多能放243256块．随练1.1如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的___________倍．【答案】43【解析】假设小正方体棱长是1，大正方体棱长就是6，大正方体露在外面的表面积是6661215，小正方体露在外面的表面积是5，所以有215543倍．随练1.2有一根长52厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长6厘米，宽4厘米，高多少厘米的长方体？【答案】3厘米【解析】524643厘米．随练1.3一个长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是4厘米．它的表面积是__________平方厘米．【答案】248【解析】长方体的表面积是2长宽长高宽高，即106104642248平方厘米．随练1.4一个长方体的体积是12立方厘米，底面是面积为4平方厘米的正方形，这个长方随堂练习7/10立体几何拓展--正方体、长方体基本运算(教师版)体的表面积是__________平方厘米．【答案】32【解析】长方体的高是1243厘米，长和宽都是2厘米，所以长方体的表面积是2434232平方厘米．随练1.5一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于______立方厘米．【答案】8【解析】2847，7124，所以长宽高分别为1、2、4，体积为8．随练1.6如图所示，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是__________立方厘米；如果四角去掉边长为3厘米的正方形，这个容器的体积是__________立方厘米．【答案】90立方厘米；63立方厘米【解析】（1）把长方体容器的长、宽、高标在展开图中，如图所示：不难发现，折叠成的长方体容器的长是13229厘米，宽是9225厘米，高2厘米，因此容器的体积就是95290立方厘米．（2）同理，折叠成的长方体容器的长是13337厘米，宽是9333厘米，高3厘米，因此容器的体积就是73363立方厘米．随练1.7一个边长为6厘米的正方体铁盒装满了水，将水倒入一个长9厘米，宽8厘米的长方形水槽内，若铁皮厚度不计，那么水深是__________厘米．【答案】3【解析】水的体积：666216平方厘米，水深（水的高度）216983厘米．1392长宽高259自我总结8/10立体几何拓展--正方体、长方体基本运算(教师版)作业1如图所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？【答案】72平方米【解析】首先，从上面往下面看，看到的图形是一个44的正方形，面积是16平方米．从下往上看，看到的也是一个44的正方形，面积也是16平方米．接着再从四个侧面看，这四个侧面都一样，看到的图形如图所示，正好包含10个面积为1平方米的小正方形，所以每个侧面的面积为10平方米．这样，这个立体图形的表面积就等于16210472平方米．作业2所有表面积为1502cm的长方体中，体积最大的是__________3cm．【答案】125【解析】最优方案是正方体，其每个面的面积是2150625cm，棱长为5cm，体积为335125cm．作业3给一个长、宽、高分别为10米、5米、4米的正方体房间粉刷，只粉刷墙壁和天花板，那么需要粉刷__________平方米．【答案】170【解析】长方体粉刷五个面，包括上面、左面、右面、前面和后面，即10524105170．课后作业9/10立体几何拓展--正方体、长方体基本运算(教师版)作业4一个长方体底面是一个边长为20厘米的正方形，高为40厘米，如果把它的高增加5厘米，它的表面积会增加多少？【答案】400平方厘米【解析】高增加5厘米，它的表面积会增加4个长20厘米，宽5厘米的面，共增加2054400平方厘米．作业5一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表