北师大版九年级上学期第一章《特殊的平行四边形》证明题集锦

北师大版九年级上学期第一章平行四边形及特殊的平行四边形证明题集锦1.（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.2．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：长度关系及所在直线的位置关系；（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BEDG的值．BAODCE图2CBOD图1AE图1图2图33.如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）CF相交于点P，求线段CP长的最大值．4.已知：如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．ABCDEF图甲图乙FEDCBAFEDCBA图丙5.如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F。求证：PM=QM。6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC－BD，则∠B∶∠C的值为多少？7、如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，BD＝CF，CD＝BE，G为EF中点，连结DG，问DG与EF之间有何关系?证明你的结论。8.已知：三角形ABC和CDE为等腰直角三角形，点F、G分别为BE和AD的中点，连接FG和GC，试说明FG和GC的关系。ABCD9.如图，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，BE=EC，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接DE交AB于点F，试探究线段DF与EF的数量关系，并加以证明。10.已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．11.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．APCDBEFNMDABCPCGFBQADE12.如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．13如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．14、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．15、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．AFDECBEDACBF16、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．17.如图2-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，（1）将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到Rt△AC'B'，直线BB'交直线CC'于点D，连接AD.探究：AD与BB'之间的关系，并说明理由。（2）如图2-2，若将Rt△ABC绕点A逆时针旋转任意角度，其他条件不变，还有（1）的结论吗？为什么？18.在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，M.N分别是AB.BD的中点，连接MN交CE于点K（1）如图3-1，当C.B.D共线，AB=2BC时，探究CK与EK之间的数量关系，并证明；（2）如图3-2，当C.B.D不共线，AB≠2BC时，（1）中的PADCBFEPCBAD结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将题目中的条件“∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE”都去掉，再添加一个条件，写出一个类似的对一般三角形都成立的问题（画出图形，写出已知和结论，不用证明）19.如图，△ABO与△CDO均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M为BD的中点，MN⊥AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。20.填空或解答：点B．C．E在同一直线上，点A．D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。（1）如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；（2）如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________（用含α的式子表示）；（3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A．B重合），得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。20.已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．（1）求证：①；②是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；21.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG求证：ABCAEGSS△△ABC△ADE△ABACADAEBACDAEBAD，，BECDMN，，，BECD，BECDAMN△ADE△A180CENDABM图①CAEMBDN图②22.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG。若O为EG的中点求证:BC=2AO23.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，OA的延长线交BC于点H求证：AH⊥BC24.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若AH⊥BC，HA的延长线交EG于点O求证：O为EG的中点25.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG求证：（1）BE=CG（2）BE⊥CG26.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG作FM⊥BC，交CB的延长线于点M，作DN⊥BC，交BC的延长线于点N求证：FM+DN=BC27.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG、FD,O是FD中点，OP⊥BC于点P求证：BC=2OP28.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GE,M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点求证：四边形MNPQ是正方形29.如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。问：△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？30.如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。问：（1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。（2）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。