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第3讲分式及其运算考情分析，真题体验第3讲分式及其运算主要包括分式的基本性质与分式运算：•1．了解分式和最简分式的概念．•2．会利用分式的基本性质进行约分和通分．•3．会进行简单的分式加、减、乘、除运算．考情分析，真题体验•1．分式的有关概念，主要是分式的判定以及分式有(无)意义、值为0的条件．•2．分式基本性质的应用，如约分、通分、分式符号变化、分式的各项系数化成整数等．•3．分式的运算是分式考查中的重点，分式的化简与求值问题，一是常规的分式化简求值，二是在已知条件下进行分式的化简求值，包括一些条件开放性求值问题．•4．主要体现的思想方法：类比的思想、转化的思想等．第3讲分式及其运算考情分析，真题体验第3讲分式及其运算1．(2015·金华)要使分式1x＋2有意义，则x取值应满足(D)A．x＝－2B．x≠2C．x＞－2D．x≠－2【解析】分式有意义的条件：x＋2≠0即x≠－2.2．(2015·丽水)分式－11－x可变形为(D)A．－1x－1B.11＋xC．－11＋xD.1x－1【解析】分式符号变化规律3．(2015·绍兴)化简x2x－1＋11－x的结果是(A)A．x＋1B.1x＋1C．x－1D.xx－1【解析】x2x－1＋11－x＝x2x－1－1x－1＝x2－1x－1＝（x－1）（x＋1）x－1＝x＋1考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算4．(2015·衢州)先化简，再求值：(x2－9)÷x－3x，其中x＝－1.解：原式＝(x＋3)(x－3)·xx－3＝x(x＋3)＝x2＋3x，当x＝－1时，原式＝(－1)2＋3×(－1)＝－2.考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算分式的概念1．(2015·上海)如果分式2xx＋3有意义，那么x的取值范围是________．2．(2015·黑龙江)如果分式|x|－1x2－3x＋2的值为零，那么x等于(A)A．－1B．1C．－1或1D．1或2【解析】第1题由分式有意义的条件是其分母不等于0，即x＋3≠0；第2题要求分子为0，但分母不为0.x≠－3考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算1．分式：形如AB(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．2．与分式有关的结论：(1)分式AB无意义的条件是B＝0；(2)分式AB有意义的条件是B≠0；(3)分式AB值为0的条件是A＝0且B≠0.考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算3．若分式x2－1x－1的值为零，则x的值为(C)A．0B．1C．－1D．±1【解析】x2－1x－1＝（x－1）（x＋1）x－1＝x＋1＝0，x＝－14．使代数式x－3x－4有意义的x的取值范围是(D)A．x3B．x≥3C．x4D.x≥3且x≠4【解析】x－3x－4有意义，则x－3≥0且x－4≠0，即x≥3且x≠4考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算分式有无意义的条件，从以下三个方面转化：(1)分式无意义⇔分母为0；(2)分式有意义⇔分母不为0；(3)分式值为0⇔分子为0且分母不为0.考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算分式的性质5．下列句式从左到右的变形正确的是(A)A.x－12y12x＋y＝2x－yx＋2yB.0.2a＋ba＋0.2b＝2a＋ba＋2bC．－x＋1x－y＝x－1x－yD.a＋ba－b＝a－ba＋b考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算6．(2014·山西)下列各式与x－yx＋y相等的是(C)A.（x－y）＋5（x＋y）＋5；B.2x－y2x＋y；C.（x－y）2x2－y2(x≠y)D.x2－y2x2＋y2考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算7．(2015·益阳)下列等式成立的是(C)A.1a＋2b＝3a＋bB.22a＋b＝1a＋bC.abab－b2＝aa－bD.a－a＋b＝－aa＋b【解析】第5题利用分式的基本性质，分子，分母中每一项同乘或同除以一个数；第6题和第7题利用分式的基本性质，经过约分或通分求解．考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)___________________，分式的值不变：AB＝A·mB·m，AB＝A÷mB÷m(其中m≠0)．2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的________约去，叫做分式的约分．约分的根据是分式的基本性质．3．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．同一个不为0的数公因式考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算8．化简：m2－4mn＋4n2m2－4n2＝__________．【解析】原式＝（m－2n）2（m－2n）（m＋2n）＝m－2nm＋2nm－2nm＋2n考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算1．利用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质和分式的符号法则；2．分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变：ab＝－a－b＝－a－b＝－－ab，－ab＝a－b＝－ab.3．分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先分解因式；(2)约去分子与分母的公因式．考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算分式的计算9．(2015·安徽)先化简，再求值：(a2a－1＋11－a)·1a，其中a＝－12.【解析】原式括号中第二项变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解：原式＝(a2a－1－1a－1)·1a＝（a＋1）（a－1）a－1·1a＝a＋1a，当a＝－12时，原式＝－1.考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算10．(2014·菏泽)已知x2－4x＋1＝0，求2（x－1）x－4－x＋6x的值．【解析】化简以后，观察结果特点，用整体思想代入即可得到答案．解：原式＝2x（x－1）－（x－4）（x＋6）x（x－4）＝x2－4x＋24x2－4x，∵x2－4x＋1＝0，∴x2－4x＝－1，原式＝－23考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算1．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为________的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．2．分式的运算法则：(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．(2)分式的加减法：同分母加减法：____________________________；异分母加减法：__________________．(3)分式的乘除法：ab·cd＝________；ab÷cd＝________．(4)分式的乘方：(ab)n＝________．同分母分母不变，分子相加减先通分，后加减acbdadbcanbn考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算11．(1)a＋1a－1÷a＋1a2－1－1；(2)x2yx2＋2xy＋y2·(1x＋1y)．解：(1)原式＝a＋1a－1·（a＋1）（a－1）a＋1－1＝a＋1－1＝a(2)x2yx2＋2xy＋y2·(1x＋1y)＝x2y（x＋y）2·x＋yxy＝xx＋y考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算12.先化简，再求值：(1－1x)÷x2－2x＋1x，其中x＝2.解：原式＝x－1x×xx2－2x＋1＝x－1x×x（x－1）2＝1x－1，x＝2时，原式＝12－1＝2＋1（2－1）（2＋1）＝2＋1.考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算13．(2015·天津改编)已知1x－1y＝2，求分式2x＋3xy－2yx－2xy－y的值．解：14考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算•1．通分的关键是确定最简公分母．方法是：(1)将各分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母．•2．在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．•3．在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算分式的应用14．(2015·安徽)已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则1a＋1b＝1；②若a＝3，则b＋c＝9；③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.其中正确的是________(把所有正确结论的序号都选上)．15．若4x－1表示一个整数，则整数x可取的值的个数是(D)A．3个B．4个C．5个D．6个①③④考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算16．已知1x－1y＝3，求代数式2x－14xy－2yx－2xy－y的值．解：4【解析】第14题按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可；第15题首先考虑能够整除4的整数有±1，±2，±4；第16题把1x－1y＝3变形为y－x＝3xy代入代数式即可求值．考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算17．若实数x，y满足xy≠0，则m＝x|x|＋|y|y的最大值是____．【解析】m＝x|x|＋|y|y＝xy|x|·y＋|x|－|y||x|·y＝xy＋|xy||x|·y.若xy0，则m＝0；xy0时，若x，y均小于0，则m＝2xy－xy＝－2.若x，y均大于0，则m＝2xyxy＝2.故最大值为2.2考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算18．已知a2－3a＋1＝0，求a2a4＋1的值．解：∵a2－3a＋1＝0，a≠0，∴a＋1a＝3，∴a4＋1a2＝a2＋1a2＝(a＋1a)2－2＝32－2＝7，∴a2a4＋1＝17考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算分式求值方法灵活，根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化，如整体代入法、平方法、倒数法、代入法等．考点剖析，归类探究第3讲分式及其运算