离心率专项练习

离心率专项练习1、如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_____________．【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)①，点A的坐标为(x0，y0)．由题意得a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝3，所以x20＋y20＝3，x20＋4y20＝4，解得x20＝83，y20＝13，又点A在双曲线上，代入①得，83b2－13a2＝a2b2③，联立②③解得a＝2，所以e＝ca＝62．2、设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．【解析】本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系、不等式的性质．设双曲线的焦点在x轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k(k0)必须满足33k≤3，易知k＝ba，所以13ba2≤3，431＋ba2≤4，即有2331＋ba2≤2.又双曲线的离心率为e＝ca＝1＋ba2，所以233e≤2．3、设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为____________．【解析】本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m2m＋m＝33.法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±b2a，所以|PF2|＝b2a.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝33或e＝－3(舍去)．4、从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是____________．【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P－c，b2a.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－ba＝－b2ac，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则ca＝22，即该椭圆的离心率是22.5、已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为___________．【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF|＝6，所以2a＝6＋8＝14，又2c＝10，所以e＝1014＝57.6、如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是___________．【解析】不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±bax，因此有交点P(－aa＋1，ba＋1)，Q(a1－a，b1－a)，设PQ的中点为N，则点N的坐标为(a21－a2，b1－a2)，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3,0)，因此有kMN＝b1－a2－0a21－a2－3＝－1b，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝23，所以e＝62.7、设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为____________．【解析】由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(32a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝34.8、如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是____________．【解析】设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝ca，椭圆的离心率e2＝c2a，所以e1e2＝2.9、设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为__________．【解析】由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2(32a－c)＝2c，∴3a＝4c，∴e＝34.10、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为__________．【解析】设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2，所以|AB|＝2×b2a＝2×2a.∴b2＝2a2.c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.11、设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2.若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率等于____________．【解析】设圆锥曲线的离心率为e，因|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝34－2＝32；综上，所求的离心率为12或32.12、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为___________．【解析】不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为(,0),(0,)FcBb,一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac，2bac,220caac，解得512cea.13、椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________．【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|＝22abccc,,|PF|∈[a－c,a＋c],于是2bc∈[a－c,a＋c],即ac－c2≤b2≤ac＋c2,∴222222accacacacc1112caccaa或,又e∈(0,1),故e∈1,12.14、过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是________．【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．15、设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为____________．【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,.16、已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率___________.【解析】设双曲线的右准线为,过分别于,于,,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.22221(0,0)xyababA1,BC12ABBC,0Aa0xya22,,(,)aabaabBCabababab22222222(,),,ababababBCABabababab222,4,5ABBCabe12222byax212222byaxxaby21byxayx210bxxa2()40ba2ba2221()5cabbeaaa222210,0xyCabab：FF3CAB、4AFFBC22221xyCab：lAB、AMlMBNlNBDAMD于316060,||||2BADADAB1||||||(||||)AMBNADAFFBe11||(||||)22ABAFFB又.17、设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．【解析】本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－2·4a·2c·cos30°，即3a2－23ac＋c2＝0，所以3a－c＝0，故双曲线C的离心率为3.18、椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】本题考查椭圆的定义、离心率等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.19、已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则C的离心率e＝________.【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及离心率的求解．求解此题的关键是能够巧妙地应用过原点的直线与椭圆的两个交点关于原点对称来确定a值，试题也侧重考查了逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝57.20、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2=6d1，则椭圆C的离心率为________．【解析】本题考查椭圆的基本概念及性质，意在考查学生的推理能力及运算能力．令F(c,0)，B(0，b)，则直线BF的方程为xc＋yb＝1，所以d1＝bcb2＋c2.15643||||25AFFBFBFBee又d2＝a2c－c＝b2c，由d2＝6d1，可得b2c＝