平面向量综合试题

《平面向量》综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若A（2，-1），B（-1，3），则AB的坐标是()A.（1，2）B.（-3，4）C.（3，-4）D.以上都不对2.与a=（4，5）垂直的向量是()A.（-5k,4k）B.(-10，2）C.(54,kk)D.（5k,-4k）3.△ABC中,BC=a,AC=b,则AB等于()A.a+bB.-(a+b)C.a-bD.b-a4.化简52(a－b)－31(2a+4b)+152(2a+13b)的结果是()A.51a51bB.0C.51a+51bD.51a－51b5.已知|p|=22,|q|=3,p与q的夹角为4,则以a=5p+2q,b=p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为()A.15B.15C.16D.146.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥AB,则k的值为()A.109B.109C.1019D.10197.已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足PAPBPCAB，则点P与△ABC的关系是()A.P在△ABC的内部B.P在△ABC的外部C.P是AB边上的一个三等分点D.P是AC边上的一个三等分点8.已知△ABC的三个顶点，A(1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且△ABM的面积是△ABC面积的41,则线段AM的长度是()A.5B.85C.25D.8529.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,则|a+b|的值()A.23B.9C.2918D.22310.若|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,则a与b的夹角为()A.300B.450C.600D.75011.把一个函数的图象按向量a=(3,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+6)-2,则原函数的解析式为()A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+2D.y=-cosx12.在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,则下列推导中错误的是()A.若a·b0,则△ABC为钝角三角形B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形C.若a·b=b·c,则△ABC为等腰三角形D.若c·(a+b+c)=0,则△ABC为等腰三角形二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13.在△ABC中，已知,4ACAB且,8ACAB则这个三角形的形状是.14.一艘船从A点出发以hkm/32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为hkm/2，则船实际航行的速度的大小和方向是.15.若向量)4,7(),1,2(),2,3(cba,现用a、b表示c,则c=.16.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知A),,(11yxB),(22yx,则);2,2(212121yyxxAB③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|④已知0,021,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;⑤若a与b共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是.三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图,ABCD是一个梯形,CDABCDAB2,//,M、N分别是ABDC,的中点,已知ABa,ADb,试用a、b表示,DCBC和.MNABNMDC18.设两个非零向量e1、e2不共线.如果AB=e1+e2,BC2e1+8e2,CD=3(e1-e2)⑴求证:A、B、D共线;⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量AD的坐标.20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把ABC的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.22.已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1-x)=f(1+x)成立，设向量a=(sinx,2),b=(2sinx,21),c=(cos2x,1),d=(1,2)。（1）分别求a·b和c·d的取值范围；（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)f(c·d)的解集。参考答案一、1-5BCDBA；6-10DDADB；11-12BD二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600;15.a－2b;16.①③④三、17.∵|AB|=2|CD|∴DCAB2∴2121ABDCa,BCb－21a,MN=41a－b18.⑴∵BDBCCD5e1+5e2=AB5,∴BDAB//又有公共点B,∴A、B、D共线⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)∴k=λ且kλ=1∴k=119.⑴由0ACAB可知ACAB即AB⊥AC⑵设D（x,y）,∴)2,1(),5,5(),4,2(yxBDBCyxAD∵BCAD∴5(x-2)+5(y-4)=0∵BCBD//∴5(x+1)－5(y+2)=0∴2527yx∴D(25,27))23,23(AD20.⑴226||),25,21()23,25(CMCMM⑵设P（x,y）44||22,59||33APQAPQBPQCABCSSAPAPABSSAB)1,3(32)2,1(yx)34,3(P21.当b与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ=-2abb|a+λb|=2222baba=222222()()ababbabb当λ=-2abb时，|a+λb|取得最小值.∴当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.22.(1）3a·b=2sin2x+113c·d=2cos2x+11（2）∵f(1-x)=f(1+x)∴f(x)图象关于x=1对称当二次项系数m0时,f(x)在（1，）内单调递增，由f(a·b)f(c·d)a·bc·d,即2sin2x+12cos2x+1又∵x∈[0,π]∴x∈3(,)44当二次项系数m0时,f(x)在（1，）内单调递减，由f(a·b)f(c·d)a·bc·d,即2sin2x+12cos2x+1又∵x∈[0,π]∴x∈3[0,)(,]44、故当m0时不等式的解集为3(,)44;当m0时不等式的解集为3[0,)(,]44