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等腰三角形的性质陵城初中尤桂林1有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.三角形的中线、角平分线和高如图：中线AD,角平分线AE,高AF（1）什么是等腰三角形？（2）等腰三角形的有关概念（3）三角形中学过哪些重要线段?2如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去红线下方的部分,再把它展开,得△ABC观察AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?AC=AB,△ABC是等腰三角形心灵手巧ACDB折痕3把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.等腰三角形是轴对称图形吗？4重合（相等）的线段重合（相等）的角ACBDAB=ACBD=CD∠B=∠C.∠BAD=∠CAD∠ADB=∠ADC等腰三角形除了两腰相等以外,你还有何发现?小组讨论想想看锐眼发现AD是BC边上的中线AD是∠BAC的角平分线∵∠ADB+∠ADC=1800∴∠ADB=∠ADC=900∴AD是BC边上的高线两底角相等AD=AD5发现与猜想发现2.折痕AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，也是底边BC上的中线还是底边BC上的高ABCD猜想1.等腰三角形的两个底角相等。2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线，底边上的高互相重合如何论证你们的猜想呢？证明一个命题有哪些步骤呢？1.等腰△ABC的两个底角∠B＝∠C。发现6已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C分析：1.如何证明两个角相等？2.如何构造两个全等的三角形？1.等腰三角形的两个底角相等。猜想与论证猜想ABCD结对子讨论，按步骤写出已知和求证并画图小组群学，每组4号到黑板展示小组论证结果7ABC则有BD＝CDD在△ABD和△ACD中证明:作△ABC的中线ADAB＝ACBD＝CDAD＝AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B＝∠C8ABC则有∠ADB＝∠ADC＝90ºD在Rt△ABD和Rt△ACD中证明:作△ABC的高线ADAB＝ACAD＝AD（公共边）∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C9ABC则有∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中证明:作顶角的平分线AD，AB＝AC∠1＝∠2AD＝AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B＝∠C10归纳结论等腰三角形的两个底角相等。性质1(等边对等角)用符号语言表示为：在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）ABC11看谁算得快如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数。ABC120°ABC36°12⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为；⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________。75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°巩固练习(1)13例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角)设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°x⌒2x2x14论证猜想:ABDC猜想2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线，底边上的高互相重合从猜想1的论证中，你有什么启发呢？15③作∠A的角平分线AD∴∠BAD=∠CAD在△ABD和△ACD中AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD∴△ABD≌△ACD(SAS)∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90∴AD是BC边上的中线，也是底边BC上的高①作BC上的中线AD∴BD=CD在△ABD和△ACD中AB=ACAD=ADBD=CD∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°∴AD是∠BAC的平分线，也是BC边上的高②作AD⊥BC，垂足为D∴∠ABD=∠ADC=90°在△ABD和△ACD中AB=ACBD=CD∴△ABD≌△ACD(HL)∴BD=CD,∠BAD=∠CAD∴AD是BC边上的中线，也是∠BAC的平分线ABCD证明：等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线，底边上的高互相重合16(三线合一)等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合性质2:归纳结论用符号语言表示为：ABCD1212在△ABC中1、∵AB=ACAD⊥BC∴∠=∠，=。2、∵AB=ACAD是中线，∴⊥，∠=∠。3、∵AB=ACAD是角平分线，∴⊥，=。BDCDADBC12ADBCBDCD1217思考：(2)等腰三角形底角的平分线与它所对边上的中线和高线重合么？(1)等腰三角形的对称轴怎样回答？等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线(顶角平分线,底边上的高)所在直线181.判断：等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合（）2.如图,AB=AC,AD⊥BC交BC于点D,BD=5cm,那么BC的长度为（)×10cm194：△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数？5：在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=16°，求∠B和∠C的度数BACDBDCA答：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°答：∠B=82°，∠C=41°20如图，已知AB=AC，∠BAC=1100，AD是△ABC的中线。（1）求∠1和∠2的度数；（2）AD⊥BC吗？为什么？（2）在△ABC∵AB=AC（已知）又∵AD是△ABC的中线（已知）∴AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线垂直底边）。1我思,我进步BDCA1221（1）解：在△ABC∵AB=AC（已知）又∵AD是△ABC的中线（已知）∴∠1=∠2=∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角）∵∠BAC=1100（已知）∴∠1=∠2=550（等式性质）。21谈谈你的收获！22轴对称图形性质一：两个底角相等（等边对角）性质二：顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合（三线合一）23下课了!24ACB腰腰底边顶角底角底角等腰三角形的有关概念返回25