二次根式知识梳理

《二次根式》知识梳理本章的知识结构框图：一、二次根式的概念1．代数式)0(aa叫二次根式，am也是。2．二次根式有意义的条件：0a3．训练题型设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？（1）x231（2）x2（3）122xx（4）41xx二、二次根式的性质1．性质性质1).0(),0(0),0(2a＜aaa＞aa性质202aaa性质30,0babaab二次根式二次根式的性质二次根式的运算有理化因式和分母有理化最简二次根式同类二次根式二次根式的加减二次根式的乘除混合运算性质40,0bababa2．训练题型利用二次根式的性质进行计算或化简，例：（1）72，41（2）0182xx（3）3a（4）092bab（5）23（6）3,122xxx3、常见问题和解决技巧（1）重要公式不理解被开方数是字母或代数式时，总忘记添绝对值。口诀化方法解决：去帽子，套棍子。（2）化简二次根式不熟练在教学中始终渗透分解因数4、9、25及其它们的组合。强化训练48、50、72、75、108、125等数的开方。化简顺序：从数字到字母。（3）化去根号内的分母时结果错位解决方法：由外到里、由里到外、公式兼用再分母有理化三、最简二次根式、同类二次根式1．最简二次根式的定义（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母（根号内不含分母）（3）分母里不含根号。“因式”包括字母和数字2．同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。3．训练题型)0(02aaaaaaxxxx222xxxxx22xxxxxx22222xxx2x2xx2x例题1判断下列二次根式是不是最简二次根式：;)4(24)3(42)2(;35)1(23baxaa（5）)1()12(32aaa例题2将下列二次根式化成最简二次根式：);0()2();0(4)1(23nmnmnmyyx)0ba()ba)(ba()3(22例题3下列二次根式中，哪些是同类二次根式？)0(),0(2,,271,24,12334aabababa例题4合并下列各式中的同类二次根式：;323132122)1(xybxyaxy3)2(4．常见问题和解决技巧解系数是无理数的方程或不等式时不会合并同类项强化训练找系数，如解系数是无理数不等式，系数化成1时，忘记判断系数是正数还是负数，不等号该不该变号。四、二次根式的计算1．二次根式的加法和减法二次根式相加减的一般过程是：先把各个人次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。注意：不是同类二次根式的根式不能合并，保留在结果中。训练题型022)23(xxx5323xx5323例题1计算：例题2计算：例题3解不等式：2x+95445x2．二次根式的乘法和除法利用上述性质,可进行二次根式的乘除.二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变.两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变注：一般情况下，先将被开方数相乘、除，然后再化简。训练题型例题1计算:例题2计算:3．分母有理化（1）定义把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。（运用其它途径，也可达到分母有理化的目的）两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式。有理化因式不唯一（2）有理化因式①形如a的有理化因式是它本身及它的倍数，不唯一；②形如bnam的有理化因式构造平方差公式结构；分母有理化类似baba,的有理化因式分别为baba,，注意它们的区别。（3）有理化方法①分子分母同乘以有理化因式。强调：分子不要急于运用乘法分配律，先观察分子分母能否约分。如：②利用因式分解的知识将m-n写成nm)nm(的形式,绝对不能讲成将m-n分解因式。如4．二次根式的计算可操作化的问题（1）纯加减法：先化简，再加减（再合并）。例（2）纯乘除法：先乘除，再化简选取课外例题对于全乘除法在新教材中有两种计算法：3313241354233222)7581()3125.0(babbababba363232)0(326631232122122xyxxxyxyxxxyxyxyxxyxyxyx322322322322·22·31283128nmnmnmnmnmnmnmnmnm))(())(())((nmnmnmnmnm))((前一种方法是先利用公式，再用分数与除法的关系，最后化简根式。而后一种方法先利用分数与除法的关系，再分母有理化，往往第二种方法正确率更高。（3）混合运算：①仅乘法与加减法的混合运算：乘法分配率②除以类单项式的二次根式：乘法分配率③除以类多项式的二次根式：化为分式形式，再分母有理化④除以类分式的二次根式的和：通常先通分，算括号内的，再转化为乘法，写成分式形式，然后通过分母有理化进行运算。以上方法仅是常用方法，并非绝对方法。计算时主导思想仍是化繁为简，合理运用运算率与分母有理化。5．典型例题训练例题1把下列各式分母有理化：（1）133；（2）23341；（3）).(nmnmnm例题2计算：......6·356·2786·35278......321·3253·32321·3553·35321533235......5535155553155......6623326623326323)6362(3)2131(3.1111)2(;154510)1(22xxxx例题3已知2231x，求3262xxx的值.例题4解不等式：x33x2例题5将下列各式分母有理化：例题6讨论：如何将下列各式分母有理化：