2015年最新七年级初一期提高培优精选经典资料“一元一次方程及应用”

1一元一次方程及应用知识网络结构图重点题型总结及应用知识点一：一元一次方程的概念例1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④21x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦nm11－＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是()A、5B、6C、7D、8举一反三：【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程：（1）-2x2+3=x（2）3x-1=2y（3）x+x1=2（4）2x2-1=1-2(2x-x2)【变式2】若关于x的方程230mmxm是一个一元一次方程，则m_______．【变式3】若关于x的方程23202kxkxk是一元一次方程，则k_______【变式4】若关于x的方程523mxxmm是一元一次方程，则m_______．2【变式5】若关于x的方程5)2()2(22xmxmm是一元一次方程，则m_______．【变式6】已知：(a－3)(2a＋5)x＋(a－3)y＋6＝0是关于x的一元一次方程，则a=_______．知识点二：方程的解题型一：已知方程的解，求未知常数例2、当k取何值时，关于x的方程450.80.50.20.1xkxkx的解为2x？举一反三：已知2ymmym．（1）当4m时，求y的值；（2）当4y时，求m的值．题型二：已知一方程的解，求另一方程的解例3、已知1x是关于x的方程11()23mxx的解，解关于y的方程：(3)2(25)mymy．题型三：同解问题例4、方程233x与3103ax的解相同，求a的值.举一反三：【变式1】已知方程4231xmx与方程3261xmx的解相同．（1）求m的值；（2）求代数式20112010)22()23(mm的值．3【变式2】已知方程112332xxx与方程2224334kxxk的解相同，求k的值.【变式3】方程23(1)0x的解与关于x的方程3222kxkx的解互为倒数，求k的值。题型四：已知方程解的情况，求未知常数的取值范围例5、要使方程ax=a的解为1,则()A.a可取任何有理数B.a＞0C.a＜0D.a≠0例6、关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a的值为()A.2B.3C.1或2D.2或3举一反三：已知方程2ax=(a＋1)x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.知识点三：等式的性质（方程变形——解方程的重要依据）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为，如方程：5.03x－2.04x=1.6，将其化为：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。例7、下列等式变形正确的是()A.若xy,则55xyB.若ab,则acbcC.若abcc,则23abD.若xy,则xymm举一反三：1、若axay,下列变形不一定正确的是()A.55axbyB.33axbyC.1133axayD.xy2、下列等式变形错误的是()A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得6a=6bC.由x+2=y+2得x=yD.由x÷3=3÷y得x=y43、运用等式性质进行的变形,正确的是()A.如果a=b那么a+c=b-c;B.如果6＋a=b-6那么a=b;C.如果a=b那么a×3=b÷3;D.如果a2=3a那么a=34、下列等式变形错误的是()A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得99abC.由x+2=y+2得x=yD.由-3x=-3y得x=-y5、运用等式性质进行的变形,正确的是()A.如果a=b,那么a+c=b-c;B.如果abcc,那么a=b;C.如果a=b,那么abcc;D.如果a2=3a,那么a=36、如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（）A.ma+1=mb+1B.ma—3=mb—3C.a=bD.mbma21217、运用等式性质进行的变形,正确的是()。A.如果a=b,那么a+c=b-c;B.如果cbca,那么a=b;C.如果a=b,那么cbcaD.如果aa32,那么a=3知识点四：解一元一次方程的一般步骤：变形名称具体做法变形依据去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住：移项要变号)合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝例8、（用常规方法）解方程：1211=223xx（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程例9、解方程：xx759279911－＝＋思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，常数项和为，故直接移项凑成比先去分母简单。5举一反三：【变式】解方程：02.03.004.005.09.04.0xx＋－＋＝2x－5（二）巧用观察法解方程例10、解方程：)3(413)2(31)1(21＋－＝＋＋＋yyy（三）巧去括号法解方程含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。例11、解方程：1642534331＝－＋－x思路点拨：因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从向去括号可以使计算简单。举一反三：【变式】解方程：22222212121＝－－－－x（四）运用拆项法解方程在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。例12、解方程：2583243＝－－＋xx思路点拨：注意到_____________________，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。6（五）巧去分母解方程当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。例13、解方程：7.023.107.0xx－－＝1（六）巧组合解方程例14、解方程：932438535＋＋－＝＋＋－xxxx思路点拨：按常规解法将方程两边同乘化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第项中的分母有公约数，左边的第项和右边的第一项的分母有公约数，移项局部通分化简，可简化解题过程。（七）巧解含有绝对值的方程解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则_________________________。例15、解方程：|x－2|－3＝0解法一：解法二：举一反三：【变式1】5|x|－16＝3|x|－4【变式2】3142x解一元一次方程常用的技巧有：（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。7知识点五：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用题型一：方程有唯一解例16、若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.题型二：方程有无数解例17、关于x的方程3x－4=a－bx有无穷多个解,则a.b的值应是()A.a=4,b=－3B.a=－4,b=－3C.a=4,b=3D.a.b可取任意数题型三：方程无解例18、已知关于x的方程1(6)326xxax无解，则a的值是（）A.1B.-1C.±1D.不等于1的数举一反三：1、已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．2、若关于x的方程︳2x－1︳+m=0无解,则m=____________.3.(1)关于x的方程4k(x+2)－1=2x无解,求k的值;(2)关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.4、已知关于x的方程a(2x－1)=4x+3b,当a、b为何值时:(1)方程有唯一解?(2)方程有无数解?(3)方程没有解?总结升华：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况(1)a≠0时，方程有唯一解x=ba；(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；(3)a=0，b≠0时，方程无解。8知识点六：一元一次方程的应用常见的一些等量关系类型基本数量关系等量关系(1)和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多余量②总量＝倍数×倍量抓住关键性词语(2)等积变形问题3VVaabh＝，＝正方体长方体hhS31VSV＝，＝锥体柱体变形前后体积相等(3)行程问题相遇问题路程＝速度×时间甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度顺流的距离＝逆流的距离(4)劳力调配问题从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(5)工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1(6)利润率问题商品利润＝商品利润率＝×100％售价＝进价×(1＋利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为抓住数字所在的位置，新数与原数之间的关系(8)储蓄问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)(9)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大。日历中的数a的取值范围是__________，且都是正整数题型一：和、差、倍、分问题例19、牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只羊从了、后面跟上来，他对牧羊人说;“你赶的这群羊大概有100只吧。”牧羊人说：“如果给这群羊加上一倍，再加上原来的这群羊的一半，又加上原来这群羊的一半的一半，连你的这只也加上才刚好凑满100只”,牧羊人的这群羊一个有多少只？举一反三：1、某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半9完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？2、已知购买甲种物品比乙种物品贵5元，某人用款300元买到甲种物品10件和乙种物品若干件，这时，它每到甲、乙物品的总件数，比把这笔款全都购买甲种物品的件数多5件，问甲、乙物品每件各是多少元？3、两个班组工人，按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20％、第二组超额15％完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件。问本月原计划每组各生产多少个零件？4、某工厂甲、乙、丙三个工人每天生产的零件数，甲和乙的比是3：4，乙和丙的比是2：3。若乙每天所生产的件数比甲和丙两人的和少945件，问每个工人各生产多少件？题型二：等积变形问题例20、用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131×131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留整数）10举一反三：一块圆柱形铁块，底面半径为20cm，高为16cm。若将其锻造成长为20cm，宽为8cm的长方体，则长方体的高为多少cm。题型三：行程问题（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间。（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例21.甲、乙两站相距480公里，一列