三角函数讲义适用于高三第一轮复习

三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cossin22tancossin2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）sin)sin(cos)cos(tan)tan(sin)sin(cos)cos(tan)tan(cos)2sin(sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(sin)sin(cos)cos(3．两角和与差的公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(4．倍角公式cossin22sin1cos2sin21sincos2cos22222tan1tan22tan5．降幂公式22cos1sin222cos1cos22sin21cossin6．幅角公式xbxacossin)sin(22xba，其中abtan8．补充公式2sin1cossin21)cos(sin2，2cos2sinsin1知识点睛一．三角函数的图象与性质图象]1,1[]1,1[最值当且仅当22kx时取到最大值1；当且仅当22kx时取到最小值1当且仅当kx2时取到最大值1；当且仅当kx2时取到最小值1周期最小正周期为2最小正周期为2奇偶性奇函数偶函数单调性在]22,22[kk上单调增；在]232,22[kk上单调减在]2,2[kk上单调增；在]2,2[kk上单调减对称轴2kx；对称中心)0,(k对称轴kx；对称中心)0,2(k说明：表格中的k都是属于Z，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。正切函数xytan的图象与性质：定义域为},2|{Zkkxx，值域为R最小正周期是，在)2,2(kk上单调增没有对称轴，对称中心为)0,2(k，奇函数二．正弦型函数)sin(xAy)0,0(A的图象方法一：先平移变换后伸缩变换平移变换：将xysin图象向左)0(或向右)0(平移个单位，得到)sin(xy的图象；伸缩变换：纵坐标不变，将)sin(xy图象上所有点的横坐标缩短)1(或伸长)10(到原来的1倍，得到)sin(xy的图象，此时函数周期为2T；振幅变换：横坐标不变，将)sin(xy图象上所有点的纵坐标伸长)1(A或缩短)10(A到原来的A倍，得到)sin(xAy的图象，此时函数的最值分别为A、A；方法二：先伸缩变换后平移变换伸缩变换：纵坐标不变，将xysin图象上所有点的横坐标缩短)1(或伸长)10(到原来的1倍，所得函数xysin的图象，此时函数的周期为2T；平移变换：将xysin图象向左)0(或向右)0(平移个单位，得到)sin(xy的图象振幅变换：同上解三角形1．解三角形：（1）边的关系：cba，bca，acb（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：CBA，CBA、、0，0sinA，CBAsin)sin(，CBAcos)cos(，2cos2sinCBA，2sin2cosCBA，BA2．正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，其中R为ABC的外接圆半径3．余弦定理：在ABC中，角CBA、、的对边分别为cba、、，则有余弦定理：CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222，其变式为：abcbaCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos2222222224．三角形的面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21三角恒等变换例题精讲【例1】考查对三角函数值“知一求二”的掌握（1）已知是第二象限角，且53sin，则cos______,tan______（2）已知是第四象限角，且125tan，则sin_______，cos______（3）已知178cos，求sin、tan的值点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负符号的确定【例2】已知2tan，计算：（1）cos4sin3cos2sin；（2）cossin；（3）2coscossin21点评：如果根据tan的值求sin、cos的值，则需考虑的象限，这里把1写成22cossin构造关于sin、cos的齐次式，解法干净利索【例3】（1）45tan625cos34sin的值是________（2）已知21)cos(，则______)2sin(（3）若记k)80cos(，则100tan________点评：此题主要考查诱导公式的使用，关于诱导公式希望大家牢记：互补的两个角正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数，互余的两个角正弦值、余弦值互换。【例4】（1）已知54sin，),2(，135cos，是第三象限角，求)cos(（2）已知53sin，是第四象限角，求)4sin(、)4cos(、)4tan(（3）若为第二象限角，且54sin，则2tan_______【例5】（1）已知4，求)tan)(tan(11的值（2）已知32BA，求2tan2tan32tan2tanBABA的值点评：正切的和差角公式把)tan(、tantan、tantan联系到一块，任一项都能由另两项表示，如)tantan)(tan(tantan1【例6】（1）若2008tan1tan1，则1tan2cos2（2）若523cossin，则tan1sin22sin2_______（3）设40，若26cossin，则tan1tan1________点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个数，这里用到“化切为弦”，即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦【例7】（1）已知是第三象限角，且532cos，则)24tan(_______（2）已知是第三象限角，且54cos，则2tan12tan1__________【例8】（1）已知3322cos2sin，则sin的值为____，cos2的值为（2）已知83cossin，且24，则sincos的值为_______点评：此题主要考查cossin与cossin之间的关系：cossin21)sin(cos2【例9】若51cossin，求值：（1）cossin；（2）22cossin；（3）33cossin常见题型一：给角求值在求值过程中，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行局部变换。另外要观察所给角与特殊角之间的关系，要尽量利用三角公式将非特殊角转化为特殊角。【例1】求值：（1）sin163sin223sin253sin313_____；（2）80cos15cos25sin10sin15sin65sin______；（3）78sin66sin42sin6sin_______；（4）50cos20sin50cos20sin22_____【例2】求值：（1）20sin135cos20cos________；（2）)212cos4(12sin)312tan3(2________；常见题型二：给值求值解决此类问题的关键在于角的“整体代换”，找出已知式与欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互补等关系，另外还要注意角的范围的讨论【例】（1）已知102)4cos(，432，则sin______；（2）已知53)4cos(，232，则)42cos(________；（3）已知52)tan(，41)4tan(，则)4tan(________常见题型三：给值求角解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值，然后根据角的范围确定角的大小，此时要注意根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件，要尽量减小角的范围。【例1】若55sin，1010sin，且、为锐角，求【例2】已知、、均为锐角，且21tan，51tan，81tan，求【例3】已知21)tan(，71tan，、),0(，求2三角函数的图象与性质说明：（1）伸缩变换不会改变的值，只是将x变为x；（2）若相同，就不用做伸缩变换，若不同，就一定要做伸缩变换；若相同，就不用做平移变换，若不同，就一定要做平移变换；（2）左右平移的量要看发生在自变量x上的变化。三．复合函数BxAy)sin(的性质最值：BA和BA；单调性：若0A，则正向讨论，即令22kx22k，可求得函数的单调增区间；若0A，则反向讨论，即令22kx232k，可求得函数的单调增区间周期：最小正周期是2T对称性：函数BxAxf)sin()(的图象仍然是波形，它有无数条对称轴和无数个对称中心令1)sin(0x，可求得函数)(xf的所有对称轴0xx；令0)sin(0x，可求得函数)(xf的所有对称中心),(0Bx【例1】考查三角函数图象的变换（1）由函数)3sin(xy的图象怎么变换到函数)322sin(xy的图象（2）将函数sin()3yx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3个单位，得到的图象的对应解析式是（）A．1sin2yxB．1sin()22yxC．1sin()26yxD．sin(2)6yx（3）要得到)32sin(xy的图象，只需将函数)62sin(xy的图象（）A．向左平移4单位B．向左平移2单位C．向右平移4单位D．向右平移2单位【例2】考查三角函数的对称轴和对称中心（1）函数)2sin()(xxf)0(是R上的偶函数，则的值是（）A．0B．4C．2D．（2）已知函数)3sin()(xxf的最小正周期为,则函数)(xf的图象（）A．关于(,0)3对称B．关于4x对称C．关于(,0)4对称D．关于3x对称（3）已知函数xxaxfcossin)(的图象关于直线4x成轴对称图形，则实数a_______（4）若函数)2cos(3xy的图像关于点)0,34(中心对称，那么的最小值为（）A．6B．4C．3D．2（5）已知函数)3sin()(xxf)0(，)3()6(ff，且)(xf在区间)3,6(上有最小值，无最大值，则________【例3】考查三角函数的单调性（1）函数)62sin(2)(xxf的单调减区间是_