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第19课时等腰三角形考点聚焦考点1等腰三角形的概念与性质考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反比例函数定义有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为：________________)定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”两边1等边对等角中线第19课时┃反比例函数拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反比例函数考点2等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：____________)拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等角对等边考点聚焦归类探究回归教材考点3等边三角形第19课时┃反比例函数定义三边相等的三角形是等边三角形性质等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形相等60°3考点聚焦归类探究回归教材考点4线段的垂直平分线第19课时┃反比例函数定义经过线段的中点且与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的___________上实质构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点___________的所有点的集合相等垂直平分线距离相等考点聚焦归类探究回归教材归类探究探究一等腰三角形的性质的运用命题角度：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形“三线合一”的性质．例1[2013·温州]如图19－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.求证：EF＝ED.第19课时┃反比例函数考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反比例函数图19－1解析根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC.又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可证明结论．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.考点聚焦归类探究回归教材方法点析(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常用方法；(2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据．第19课时┃反比例函数考点聚焦归类探究回归教材探究二等腰三角形的判定命题角度：等腰三角形的判定．例2[2011·扬州]已知：如图19－2，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．第19课时┃反比例函数图19－2考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反比例函数解析(1)利用△BDC≌△CEB证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明结论．解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠EBC＝∠DCB,∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反比例函数(2)点O在∠BAC的平分线上．理由如下：连接AO.∵△BDC≌△CEB，∴DB＝EC.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴点O是在∠BAC的平分线上．考点聚焦归类探究回归教材方法点析要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．第19课时┃反比例函数考点聚焦归类探究回归教材探究三等腰三角形的多解问题命题角度：1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底边之分，角有底角和顶角之分；2．遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两种情况．例3[2013·毕节]已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()A．16B．20或16C．20D．12第19课时┃反比例函数C考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反比例函数解析因为已知长度为4和8两边，没有明确哪条边是底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．①当4为底时，其他两边长都为8，长为4、8、8的三条线段可以构成三角形，周长为20；②当4为腰时，其他两边长分别为4和8，∵4＋4＝8，∴不能构成三角形，故舍去．∴答案只有20.[点析]因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况，故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．考点聚焦归类探究回归教材探究四等边三角形的判定与性质命题角度：等边三角形的判定与性质的综合．例4如图19－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P.(1)求证：∠ABE＝∠CAD；(2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.第19课时┃反比例函数图19－3考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反比例函数解析(1)欲证∠ABE＝∠CAD，可以通过证明△ABE≌△CAD得出；(2)欲证PB＝2PH，因为BH⊥AD于点H，在Rt△PBH中根据含30°的直角三角形的性质由∠BPH＝60°即可得到答案．证明：(1)∵等边△ABC，∴AC＝AB，∠C＝∠CAB.∵CD＝AE，∴△CAD≌△ABE.∴∠CAD＝∠ABE.(2)∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°，且BH⊥AD于点H，∴∠EBH＝30°.∴在Rt△PBH中，PB＝2PH.考点聚焦归类探究回归教材方法点析等边三角形中隐含着三边相等和三个角都是60°等条件，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．第19课时┃反比例函数考点聚焦归类探究回归教材探究五等腰三角形的创新应用命题角度：等腰三角形性质“等边对等角”与“等腰三角形的三线合一”的运用．例5如图19－4，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点A的坐标是(1，0)，点B、C在y轴上，在x轴上是否存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第19课时┃反比例函数考点聚焦归类探究回归教材图19－4第19课时┃反比例函数解析先由等腰三角形三线合一的性质得出OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝60°，再取∠BPA＝BAP＝60°，所以PB＝AB＝PC＝AC，从而根据等腰三角形的定义得出△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．解：在x轴上存在点P(－1，0)，P(3，0)使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．理由如下：①∵AB＝AC＝2，AO⊥BC，∠BAC＝120°，∴OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反比例函数∴取A(1，0)关于y轴的对称点P(－1，0)，则PB＝AB，PC＝AC，∠BPA＝∠BAP＝60°，∴PB＝AB＝PC＝AC，∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．②∵P(3，0)，A(1，0)，∴BA＝AP＝AC＝2.又∵∠BAP＝∠CAP，∴△BAP≌△CAP.∴BP＝CP.∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．考点聚焦归类探究回归教材等腰三角形中的角度计算教材母题回归教材第19课时┃反比例函数如图19－5，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°.求∠B与∠C的度数．解析由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C.图19－5考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反比例函数解在△ABD中，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝(180°－26°)×12＝77°.又∵在△ADC中，AD＝DC，∴∠C＝12∠ADB＝77°×12＝38.5°.[点析](1)利用三角形的内角和定理求角的度数是一种常用的方法；(2)遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；(3)遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第19课时┃反比例函数等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是()A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°B考点聚焦归类探究回归教材