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第23课时解直角三角形的应用考点聚焦考点解直角三角形的应用常用知识考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用1．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角．2．俯角：视线在水平线下方的叫俯角．3．坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________．4．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面越陡．5．方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．h∶l归类探究探究一利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题命题角度：1.计算某些建筑物的高度(或宽度)；2.将实际问题转化为直角三角形问题．例1[2013·宜宾]宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一(如图23－1①)，喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代(据说是唐代韦皋所建)，后毁于兵火，乾隆乙酉年(1765年)重建，它是我国目前现存最第23课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用高大、最古老的楼阁之一．小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°，又前进12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°.请你帮助小伟算算大观楼的高度．(测角仪高度忽略不计，≈1.7，结果保留整数)3图23－1考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用解：设OP＝x米，由题意得：∠POB＝90°，∠B＝45°，AB＝12，∴∠OPB＝∠B＝45°，∴OP＝OB＝x，∴OA＝x－12.在Rt△OAP中，tan60°＝OPOA＝xx－12＝3，∴x＝18＋63，∴x≈28.答：大观楼的高度约为28米．考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用变式题[2013·宜宾]如图23－2，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°；在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上)，用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且A、B间的距离为40m.(1)求点B到AD的距离；(2)求塔高CD(结果用根号表示)．图23－2考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用解：(1)过点B作BE⊥AD于点E，∵AB＝40m，∠A＝30°，∴BE＝12AB＝20m，即点B到AD的距离为20m.(2)在Rt△ABE中，∵∠A＝30°，AB＝40，∴∠ABE＝60°，AE＝203.∵∠DBC＝75°，∴∠EBD＝180°－60°－75°＝45°，∴DE＝EB＝20m，则AD＝AE＋DE＝203＋20＝20(3＋1)．在Rt△ADC中，∠A＝30°，∴DC＝AD2＝103＋10.答：塔高CD为(103＋10)m.考点聚焦归类探究回归教材方法点析在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：①不同地点看同一点；第23课时┃解直角三角形的应用图23－3考点聚焦归类探究回归教材②同一地点看不同点；③利用反射构造相似．第23课时┃解直角三角形的应用图23－4图23－5考点聚焦归类探究回归教材探究二利用直角三角形解决航海问题命题角度：1.利用直角三角形解决方位角问题；2.将实际问题转化为直角三角形问题．第23课时┃解直角三角形的应用例2[2013·烟台]如图23－6，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A地北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A，B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，结果精确到0.1海里)考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用图23－6解析过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB＝12海里，可求出BD、AD的长度．在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用解：过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D.由题意，得∠ACB＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－60°＝15°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°.在Rt△ADB中，AB＝12，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝ABcos45°＝62.在Rt△BCD中，CD＝BDtan30°＝66.∴AC＝66－62≈6.2(海里)．答：A、C两地之间的距离约为6.2海里．考点聚焦归类探究回归教材探究三利用直角三角形解决坡度问题命题角度：1.利用直角三角形解决坡度问题；2.将实际问题转化为直角三角形问题．第23课时┃解直角三角形的应用例3[2013·广安]如图23－7，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1∶2.(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长；(2)求完成这项工程需要土石多少立方米？考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用图23－7解析(1)分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H.在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度(即坝高)及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长，由AF＝FG＋GH－AH求出AF的长．(2)已知梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘坝长即为所需的土石的体积．考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用解：(1)分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，又∵DH∥EG且DH⊥AB，故四边形EGHD是矩形，∴ED＝GH.在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8(米)．在Rt△FGE中，i＝1∶2＝EGFG，∴FG＝2EG＝16米，∴AF＝FG＋GH－AH＝16＋2－8＝10(米)．考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用(2)加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长＝12×(2＋10)×8×400＝19200(立方米)．答：加固后坝底增加的宽度AF为10米．完成这项工程需要土石19200立方米．考点聚焦归类探究回归教材热气球测楼高教材母题回归教材第23课时┃解直角三角形的应用热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高(结果保留小数点后一位)?图23－8考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用解析我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在图23－8中，α＝30°，β＝60°.在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC.解如图23－8，α＝30°，β＝60°，AD＝120.∵tanα＝BDAD，tanβ＝CDAD，∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°考点聚焦归类探究回归教材第23课时┃解直角三角形的应用＝120×33＝403，CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×3＝1203，∴BC＝BD＋CD＝403＋1203＝1603≈277.1.答：这栋楼高约为277.1m.[点析]通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第23课时┃解直角三角形的应用如图23－9，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的水平距离CD为9m，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)图23－9解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝ADCD，∴AD＝CD·tan30°＝9×33＝33.在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝BDCD，∴BD＝CD·tan45°＝9×1＝9.∴AB＝AD＋BD＝33＋9.答：旗杆的高度为(33＋9)m.考点聚焦归类探究回归教材