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第25课时矩形、菱形、正方形考点聚焦考点1矩形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形矩形定义有一个角是________的平行四边形叫做矩形矩形的性质对称性矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点定理(1)矩形的四个角都是______角；(2)矩形的对角线互相平分并且______推论在直角三角形中，斜边上的中线等于________的一半直角直相等斜边矩形的判定(1)定义法(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)对角线______的平行四边形是矩形拓展(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；(2)矩形的面积等于两邻边的积第25课时┃矩形、菱形、正方形相等考点聚焦归类探究回归教材考点2菱形菱形定义有一组________相等的平行四边形是菱形菱形的性质对称性菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点定理(1)菱形的四条边________；(2)菱形的两条对角线互相________平分，并且每条对角线平分___________第25课时┃矩形、菱形、正方形邻边相等垂直一组对角考点聚焦归类探究回归教材菱形的判定(1)定义法；(2)四条边________的四边形是菱形；(3)对角线互相________的平行四边形是菱形菱形面积(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的________第25课时┃矩形、菱形、正方形相等垂直一半考点聚焦归类探究回归教材考点3正方形正方形的定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的性质(1)正方形对边________(2)正方形四边________(3)正方形四个角都是________(4)正方形对角线相等，互相________，每条对角线平分一组对角(5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点第25课时┃矩形、菱形、正方形平行相等直角垂直平分考点聚焦归类探究回归教材正方形的判定(1)有一组邻边相等的矩形是正方形(2)有一个角是直角的菱形是正方形判定正方形的思路图：第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材考点4中点四边形顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是______________顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是______________顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是常见结论顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形定义平行四边形第25课时┃矩形、菱形、正方形菱形矩形考点聚焦归类探究回归教材顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是__________顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是______顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是______顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是______第25课时┃矩形、菱形、正方形正方形菱形菱形矩形考点聚焦归类探究回归教材归类探究探究一矩形的性质及判定的应用命题角度：1.矩形的性质；2.矩形的判定．例1[2013·白银]如图25－1，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．图25－1第25课时┃矩形、菱形、正方形解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又E是AD的中点，∴AE＝DE.∴△AFE≌△DCE.∴AF＝CD.又AF＝BD，∴BD＝CD.(2)△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1.菱形的性质；2.菱形的判定．例2[2013·泰安]如图25－2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．探究二菱形的性质及判定的应用第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材图25－2第25课时┃矩形、菱形、正方形解：(1)∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF.∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB＝∠AFD.又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE.所以∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE.(2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD.所以四边形ABCD是菱形．考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形方法点析在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形．若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明．(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF.∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°.∴∠EFD＝∠BCD.考点聚焦归类探究回归教材探究三正方形的性质及判定的应用命题角度：1.正方形的性质；2.正方形的判定．图25－3第25课时┃矩形、菱形、正方形例3[2013·龙岩]如图25－3，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝()A.2B．22C．2D．1B考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形解析∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∴∠ADB＝∠CGE＝45°，∠GDT＝∠BDC＝45°，∠DTG＝180°－∠GDT－∠CGE＝180°－45°－45°＝90°，∴△DGT是等腰直角三角形．∵两正方形的边长分别为4，8，∴DG＝8－4＝4，∴GT＝22×4＝22.考点聚焦归类探究回归教材探究四特殊平行四边形的综合应用命题角度：1.矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；2.矩形、菱形、正方形的关系转化．例4[2013·梅州]如图25－4，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．图25－4第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形解：(1)证明：∵BC的垂直平分线EF交BC于点D，∴BF＝FC，BE＝EC.又∵∠ACB＝90°，∴EF∥AC.∴BE∶AB＝DB∶BC.∵D为BC中点，∴DB∶BC＝1∶2，∴BE∶AB＝1∶2，∴E为AB中点，即BE＝AE.∵CF＝AE，∴CF＝BE，∴CF＝FB＝BE＝CE，∴四边形BECF是菱形．(2)如图，∵四边形BECF为正方形，∴∠BEC＝90°.又AE＝CE，∴∠A＝45°.考点聚焦归类探究回归教材探究五中点四边形命题角度：1.对角线相等的四边形的中点四边形；2.对角线互相垂直的四边形的中点四边形．例5[2013·恩施]如图25－5所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH为菱形．图25－5第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形证明：连接AC、BD.∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，EH＝FG＝12BD，HG＝12AC.∴四边形EFGH是平行四边形．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴BD＝AC，∴EH＝HG，∴平行四边形EFGH是菱形．考点聚焦归类探究回归教材方法点析依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材探索正方形中的三角形全等教材母题如图25－6，四边形ABCD是正方形．点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AF－BF＝EF.回归教材图25－6第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材[点析]正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等的有力工具．证明∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°.∵DE⊥AG，∴∠DEG＝∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°.又∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED，∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，故AF－BF＝AF－AE＝EF.第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材中考预测1．如图25－7①，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE；(2)如图②，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．图25－7第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形解：(1)证明：设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴Rt△ADF中，∠FAD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，∴Rt△AEG中，∠FAD＋∠AEG＝90°.∴∠AFD＝∠AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.(2)相等．理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于E.得到▱BEQN和▱AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ，由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ.考点聚焦归类探究回归教材2．如图25－8，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点(G与B、C两点不重合)，E、F是AG上的两点(E、F与A、G两点不重合)，若AF＝BF＋EF，∠1＝∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．图25－8第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形解：根据题目条件可判断DE∥BF.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＋∠2＝90°.∵AF＝AE＋EF，又AF＝BF＋EF，∴AE＝BF.∵∠1＝∠2，∴△ABF≌△DAE(SAS)．∴∠AFB＝∠DEA，∠BAF＝∠ADE.∴∠ADE＋∠2＝∠BAF＋∠2＝90°，∴∠AED＝∠BFA＝∠DEG＝90°.∴DE∥BF.考点聚焦归类探究回归教材3．如图25－9，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．图25－9第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD.在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠4＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°.在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°.在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝3，DF＝1.由(1)得