最速下降法PPT及MATLAB程序

最速下降法最速下降法，也称为梯度下降法，是由法国著名数学家Cauchy在1847年提出的。最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。最速下降法是用负梯度方向为搜索方向，算法非常简单，并且通常对凸解析函数也有良好的收敛性。最速下降法的基本思想从任意一点xk出发，沿该点负梯度方向pk=-▽f(xk)进行一维搜索，设f(xk+λkpk)=minf(xk+λpk)(λ0)，令xk+1=xk+λkpk为f(x)新的近似最优解。再从新点xk+1出发，沿该点的负梯度方向pk+1=-▽f(xk+1)进行一维搜索，进一步求出新的近似最优解xk+2。如此迭代，直到某点的梯度为零向量或梯度的范数小于事先给定的精度为止。给定x0，ε0，k=0计算pk=-▽f(xk)||▽f(xk)||εf(xk+λkpk)=minf(xk+λpk)(λ0)xk+1=xk+λkpk，k=k+1停止，打印xkYN算法例.用最速下降法求函数f(x1,x2)＝2x12+x22的极小点,取x0=[1,1]T,ε=0.1。解由题意得Txxxf)2,4()(21Txfp)2,4()(001.0200p由于故进行第一次迭代2200)21()41(2)()(pxf从x0=(1,1)T出发进行一维搜索，即构造得1850Tpxx)94,91(0001Txfp)98,94()(111.05941p从而得故进行第二次迭代运算:0)21(4)41(16)(令从x1=(-1/9,4/9)T出发进行一维搜索，即构造2211)9894()9491(2)()(pxf得1251Tpxx)272,272(1112Txfp)1,2(274)(221.052742p从而得0)9894(916)9491(916)(令故进行第三次迭代运算:从x2=(2/27,2/27)T出发进行一维搜索，即构造2222)274272()278272(2)()(pxf得1852Tpxx)2438,2432(2223Txfp)24316,2438()(331.00368.0524343p从而得0)274272(278)278272(2732)(令停止迭代故最优解为Txx)2438,2432(3最速下降法的搜索路径呈直角锯齿形设xk=(xk1,xk2…..xkn),pk=(pk1,pk2…..pkn),则令θ(λ)=f(xk+λpk)=f(xk1+λpk1,xk2+λpk2,….,xkn+λpkn)0|)(|)(kkdpxdfddkkkTkkknknknnkkkkkkkkppxfppxfppxfppxfdpxdfdd)()(...)()()()(22221111是一元函数f(xk+λpk)的极值点，k▽f(xk+λkpk)Tpk=0，即(pk+1)Tpk=0。也就是说，有目标函数在一维搜索产生的新点xk+1=xk+λkpk处的梯度与产生该点时所用的搜索方向是正交的。改进后的算法nRx0精度ε0，自然数N=2,k=0Step1:计算)(kkxfpStep2：Step3：)(kxf如果，则转Step5；否则进行一维搜索)(min)(0kkkkkpxfpxf，令1,1kkpxxkkkk若k=N,且k/3-[k/3]=0.则转Step4，否则转Step2.Step4：计算2kkkxxs，进行一维搜索)(min)(0kkkkksxfsxf1,1kksxxkkkk令，转Step2Step5：停止，输出kxx*小结1、优点：计算简单，需记忆的容量小；对初始点要求低，稳定性高；远离极小点时收敛快，常作为其它方法的第一步。2、缺点：收敛速度较慢。尤其当目标函数等值面是很扁的椭圆、椭球或类似图形时，收敛更慢。