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图形的平移1．把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后所得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段．图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移．2．确定一个平移运动的条件是．要点梳理平行且相等平移的方向和距离3．平移的规则：图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离．4．平移的性质：(1)平移不改变图形的形状与大小；(2)连接各组对应点的线段平行且相等；(3)；(4)．5．画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．对应线段平行对应角相等1．正确理解平移的概念平移不改变图形的形状和大小，平移前后的图形全等；对应线段平行且相等、对应角相等；对应点的连线平行且相等．利用这些性质就可以把与平移相关的问题转化成平行四边形、全等三角形、相似三角形等问题来解决．解题时要善于利用图形平移中的不变量与不变性．2．按要求作平移后的新图形以局部带整体，先找出图形的关键点，将原图中的关键点与移动后的对应点连接起来，确定平移距离和平移方向，过其他关键点分别做线段与前面所连接的线段平行且相等，得到关键点的对应点，将对应点连接，所得的图形就是平移后的新图形．[难点正本疑点清源]1．下面选项四幅图中哪幅图是由原图平移得到的？()解析：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，只有图D是由原图平移得到的，图A、B、C皆改变了方向．基础自测D2．(2010·凉山)下列图形中，只要用其中一部分平移一次就可以得到的是()解析：其中图B、D为平移构图，但D为二次平移构成，B平移一次即可．B3．(2010·宁德)如图，在7×4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切解析：当⊙A向右平移1个单位后，d＝3＝r＋R，所以d＝R＋r，故两圆外切．D4．在同一坐标平面内，图象不可能由函数y＝2x2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是()A．y＝2(x＋1)2－1B．y＝2x2＋3C．y＝－2x2－1D．y＝x2－1解析：几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同．函数y＝2(x＋1)2－1和y＝2x2＋3的图象可以由函数y＝2x2＋1的图象平移变换得到，而函数y＝－2x2－1的图象可以由函数y＝2x2＋1的图象轴对称变换得到．因此不可能的是D.12D5．已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移△A′B′C′，使B′和C重合，连结AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为()A．6B．9C．12D．18解析：由题意，得BC＝C′C，过C画CE∥AC′交AB于E，所以AE＝BE.S△BCE＝S△ACE＝S△ABC＝×36＝18，易证△CEB≌△C′DC，则S△C′DC＝18.D1212题型一判断图形的平移【例1】如图，在5×5的方格纸中，将图1中的三角形甲平移到图2中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是()A．先向下平移3格，再向右平移1格B．先向下平移2格，再向右平移1格C．先向下平移2格，再向右平移2格D．先向下平移3格，再向右平移2格题型分类深度剖析D探究提高平移前后图形的形状、大小都不变，平移得到的对应线段与原线段平行且相等，对应角相等，平移时以局部带整体，考虑某一特殊点的平移情况即可．知能迁移1如图，每个小正方形网格的边长都为1，右上角的圆柱体是由左下角的圆柱体经过平移得到的，下列说法错误的是()A．先沿水平方向向右平移4个单位长度，再沿垂直的方向向上平移4个单位长度，然后再沿水平方向向右平移3个单位长度B．先沿水平方向向右平移7个单位长度，再沿垂直的方向向上平移4个单位长度C．先沿垂直的方向向上平移4个单位长度，再沿水平方向向右平移7个单位长度D．直接沿正方形网格的对角线方向移动7个单位长度D题型二平移与平面直角坐标系【例2】线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1,4)对应点是C(4,7)，则点B(－4,－1)的对应点D的坐标是________．解析：AB到CD的平移规律是向右平移5个单位，再向上平移3个单位．－4＋5＝1，－1＋3＝2，∴D(1,2)．(1,2)探究提高在平面直角坐标系中，点左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；点上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减．知能迁移2(2011·日照)以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为(1,3)、(4,0)，把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是()A．(3,3)B．(5,3)C．(3,5)D．(5,5)解析：如图，平移之前点C的坐标为(5,3)，向上平移2个单位后点C的坐标为(5,3＋2)，即(5,5)．D题型三平移与图形的面积【例3】如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP，若阴影部分的面积为16πcm2，则弦AB的长为多少？解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：如图，将⊙P向左平移，使点P与点O重合，连接OC、OA.因为平移前后⊙P的大小不变，所以圆环的面积是16π，即π·OA2－π·OC2＝16π，OA2－OC2＝16.[2分]在Rt△AOC中，AC2＝OA2－OC2＝16，所以AC＝4.[4分]由垂径定理，得AC＝BC，所以AB＝4＋4＝8.[6分]答：弦AB的长是8cm.探究提高应用平移的性质，“平移前后图形的形状、大小都不变”，将⊙P与⊙O的相互位置关系变换成两个同心圆，则阴影部分的面积即为圆环的面积，由垂径定理、勾股定理可得答案．知能迁移3(1)(2010·吉林)如图，在平面直角坐标系中，以A(5,1)为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C，解答下列问题：①将⊙A向左平移________个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A1，此时点A1的坐标为________，阴影部分的面积S＝________；②求BC的长．解：①3；(2,1)；6.②连接AB，画AD⊥BC于D，则BC＝2BD.在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝1，∴BD＝＝.∴BC＝2BD＝2.AB2－AD233(2)(2011·恩施)如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为()A.7B.14C．21D.28解析：∵EF是△ABC的中线，∴EF∥＝BC.∴S△AEF＝S△ABC＝7，S△ABC＝4S△AEF＝4×7＝28.又∵S△A1E1F1＝S△AEF，∴S阴影＝28－7×2＝14.B14题型四作已知图形的平移图形【例4】把正方形向左平移到新的位置，当正方形与它的像的重叠部分的面积是原正方形面积的四分之一时，作出此时像的位置，设图中一小格正方形的长为1，求平移的距离．解：画图略，平移距离是4.探究提高对于直线、线段、多边形等特殊图形，将原图中的关键点与移动后的对应点连接起来，就能准确作出图形．知能迁移4△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．(1)将△ABC向右平移2个单位长度，作出平移后的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；(2)若将△ABC绕点(－1,0)顺时针旋针180°后得到△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，说明理由．解：(1)画图略，A1(0,4)，B1(－2,2)，C1(－1,1)．(2)画图略，A2(0,－4)，B2(2,－2)，C2(1,－1)．(3)△A1B1C1与△A3B3C3成中心对称，对称中心的坐标是(0,0)，即坐标原点．21．利用平移，确定两点之间的最短路程试题有一条河流，两岸分别有A、B两地，假设河岸为两条平行线，要在河上架一座垂直于河岸的桥PQ，问桥造在何处，使AP＋PQ＋QB最小？学生答案展示在AP、PQ、QB中，PQ是一个定值，因而AP＋PQ＋QB的最小值就是求AP＋QB的最小值．如图，连AB交河岸边为P，过P画PQ⊥河岸的另一边，则PQ为最佳的造桥位置．易错警示剖析讨论这两条隔着河岸的路程之和，最有效的方法还是把它们移到一起，为此，把AP平行移动到CQ的位置，具体作法为：过A作AC与河岸垂直，并截取AC＝PQ，因为AC∥＝PQ，所以四边形ACQP是平行四边形，得AP＝CQ，于是AP＋PQ＋QB＝CQ＋AC＋QB，AP＋QB＝CQ＋QB，根据“两点之间，线段最短”的原理，线段BC的长度是CQ＋QB的最小值，BC与河岸的交点为Q0，P0Q0与河岸垂直，P0Q0就是最佳的造桥位置．正解如右图所示．(画图同分析)批阅笔记当我们对一个变动的图形进行研究时，总是设法把有关图形“移动”到特殊位置上，也就是“移动”到便于考察的位置，这就是平移变换的应用．方法与技巧在平面直角坐标系中，当某图形的横坐标、纵坐标其中一个保持不变，而另一个加上或减去一个数时，该图形就会相应地作横向或纵向平移．(1)将点(x，y)向左或向右平移a个单位长度，得到点的坐标是(x－a，y)或(x＋a，y)；将点(x，y)向上或向下平移a个单位长度，得到点的坐标是(x，y＋a)或(x，y－a)；用语言归结为：左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减．思想方法感悟提高(2)实际上，我们只需研究某一些有代表性的点，如线段的两个端点，三角形的三个顶点，就可以确定变化后的图形的位置．失误与防范1．线段、角、三角形的平移是最简单的平移问题之一，其中关键的条件是平移的方向和平移的距离．图形平移的要领是抓住关键点进行平移．2．通过平移图形，可将图形从一个地方搬到另外一个地方，也可以利用基本图形，通过平移，组成更大的平面图案，这时我们要注意这些基本图形在连接时，相邻的边界要完好连接．