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第三节函数的奇偶性与周期性基础知识梳理1．奇偶函数的定义(1)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)基础知识梳理1.有没有函数既是奇函数又是偶函数？【思考·提示】有，常数函数f(x)＝0(其定义域关于原点对称)，既是奇函数又是偶函数．基础知识梳理2．具有奇偶性的函数的图象特点一般地，奇函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数是偶函数．原点原点y轴y轴基础知识梳理3．函数奇偶性的判定方法(1)根据定义判定：首先看函数的定义域是否，若，则函数是非奇非偶函数；若，再判定或．有时判定比较困难，可考虑判定或判定．关于原点对称不对称对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)f(－x)＝±f(x)f(－x)±f(x)＝0f(x)f(－x)＝±1，(f(－x)≠0)基础知识梳理(2)性质法判定：①在定义域的公共部分内，两奇函数之积(商)为；两偶函数之积(商)也为；一奇一偶函数之积(商)为(注意取商时分母不为零)；②偶函数在区间(a，b)上递，则在区间(－b，－a)上递；奇函数在区间(a，b)与(－b，－a)上的．偶函数偶函数增(减)减(增)增减性相同奇函数基础知识梳理4．函数的周期性对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么f(x)是周期函数，T是它的周期．对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小的正数叫最小正周期．若T是函数的一个周期，则也是函数的周期．f(x＋T)＝f(x)nT(n∈N*)基础知识梳理2.有没有函数是周期函数，但没有最小正周期？【思考·提示】常数函数是周期函数，但没有最小正周期．三基能力强化1．(2009年高考重庆卷)若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即12－x－1＋a＝－12x－1－a，得：2a＝1，a＝12.答案：12三基能力强化2．函数f(x)，g(x)在区间[－a，a](a0)上都是奇函数，则下列结论：①f(x)－g(x)在[－a，a]上是奇函数；②f(x)＋g(x)在[－a，a]上是奇函数；③f(x)·g(x)在[－a，a]上是偶函数；④f(0)＋g(0)＝0，其中正确的个数是________个．答案：4三基能力强化3．(2010年福建宁化模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－2x＋3，则f(－2)等于________．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.答案：－3三基能力强化4．(2010年宁夏银川模拟)设f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝，则当x0时，f(x)＝________.1x解析：∵f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝1x，∴当x0时，－x0，f(－x)＝1－x，－f(x)＝1－x，∴当x0时，f(x)＝1x.答案：1x三基能力强化5．(2010年山东日照模拟)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)．若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是________．解析：因为f(x)是偶函数，且在[－1,0]上是减函数，所以在[0,1]上是增函数．由f(x＋2)＝f(x)得函数的周期为2，所以在[2,3]上是增函数．答案：增函数课堂互动讲练本类问题，主要是考奇偶函数的定义，准确理解定义并作出判断，要求达到“快而精准”，对一些典型的函数应当加以记忆．判断函数的奇偶性考点一课堂互动讲练例1讨论下述函数的奇偶性：(1)f(x)＝16x＋1＋2x2x；(2)f(x)＝ln(x＋1＋x)(x0)0(x＝0)ln(1－x＋－x)(x0)；(3)f(x)＝log2(1－x2＋x2－1＋1)；(4)f(x)＝a2－x2|x＋a|－a(常数a≠0)．课堂互动讲练【思路点拨】判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是否关于原点对称，再研究f(－x)与f(x)的关系．分段函数通过作图象可直接看出其奇偶性，但是不严格，应利用定义判断出此函数的奇偶性．无理式可考虑分母有理化．课堂互动讲练【解】(1)函数定义域为R，f(－x)＝16－x＋1＋2－x2－x＝2x116x＋1＋1＝2x·1＋16x4x＋1＝16x＋1＋2x2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．课堂互动讲练(2)须要分两段讨论：①设x0，∴－x0，∴f(－x)＝ln(1＋x＋x)＝ln1x＋1－x＝－ln(x＋1－x)＝－f(x)；课堂互动讲练③当x＝0时，f(x)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．②设x0，∴－x0，∴f(－x)＝ln(－x＋1－－x)＝ln11－x＋－x＝－ln(1－x＋－x)＝－f(x)；课堂互动讲练∴函数的定义域为x＝±1，∴f(x)＝log21＝0(x＝±1)，即f(x)的图象由两个点A(－1，0)与B(1,0)组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(3)∵1－x2≥0x2－1≥0⇒x2＝1，课堂互动讲练(4)∵x2≤a2，∴要分a0与a0两类讨论，①当a0时，－a≤x≤a|x＋a|≠a⇒函数的定义域为[－a,0)∪(0，a]，∴x＋a0，∴f(x)＝a2－x2x，∴当a0时，f(x)为奇函数；课堂互动讲练②当a0时，a≤x≤－a|x＋a|≠a⇒函数的定义域为[a,0)∪(0，－a]，∵x＋a0，∴f(x)＝a2－x2－x－2a，取定义域内关于原点对称的两点x1＝a2，x2＝－a2，∵f(a2)±f(－a2)＝35±33≠0，∴当a0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．课堂互动讲练【点评】判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)．课堂互动讲练跟踪训练1．判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x－2)2＋x2－x；(2)f(x)＝lg(1－x2)|x2－2|－2；(3)f(x)＝x＋2(x－1)，0(|x|≤1)，－x＋2(x1).课堂互动讲练解：(1)由2＋x2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)由1－x20，|x2－2|－2≠0.得定义域为(－1,0)∪(0,1)．这时f(x)＝lg(1－x2)－(x2－2)－2＝－lg(1－x2)x2.∵f(－x)＝－lg[1－(－x)2](－x)2＝－lg(1－x2)x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．课堂互动讲练(3)x－1时，f(x)＝x＋2，－x1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)．x1时，f(x)＝－x＋2，－x－1，f(－x)＝x＋2＝f(x)．－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)．因此f(x)是偶函数．课堂互动讲练主要考查利用周期函数的定义判别(或证明)函数的周期性，并能应用周期性解决相关问题，一个函数若为周期函数，可先研究其一个完整周期内的所有有关性质，再由周期性可得要求的结果．函数的周期性考点二例1设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈[0，]都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(1)＝a0.(1)求f()及f()；(2)证明：f(x)是周期函数．121214课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨】解决(1)可赋值，不难解决，但需注意函数值的符号．解决(2)的关键是怎样通过f(x)的图象关于直线x＝1对称，得到一个关系式．课堂互动讲练【解】(1)因为对任意x1，x2∈[0，12]，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，所以f(x)＝f(x2＋x2)＝f(x2)f(x2)≥0，x∈[0,1]．∵f(1)＝f(12＋12)＝f(12)·f(12)＝[f(12)]2，f(12)＝f(14＋14)＝f(14)·f(14)＝[f(14)]2，f(1)＝a0，∴f(12)＝a12，f(14)＝a14.课堂互动讲练(2)证明：依题设y＝f(x)关于直线x＝1对称，故f(x)＝f(1＋1－x)，即f(x)＝f(2－x)，x∈R.又由f(x)是偶函数知f(－x)＝f(x)，x∈R.∴f(－x)＝f(2－x)，x∈R，将上式中－x以x代换，得f(x)＝f(x＋2)，x∈R.这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．课堂互动讲练【点评】本题是一道抽象函数问题，赋值是解决此类问题的主要方法，周期函数的证明方法是定义法，途径是y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，得出f(x＋1)＝f(1－x)恒成立，再换元，即可证明．课堂互动讲练2．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求f(0)的值；(2)证明：函数f(x)是周期函数；(3)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求x∈R时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象．跟踪训练课堂互动讲练解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．令x＝0，有f(0)＝－f(0),2f(0)＝0，∴f(0)＝0.(2)证明：∵函数f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)．①又f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，即f(－x)＝f(2＋x)．②课堂互动讲练由①②得f(x)＝－f(2＋x)，即f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．即f(x＋4)＝f(x)．∴f(x)是以4为周期的周期函数．课堂互动讲练(3)f(x)＝x，－1≤x≤1，－x＋2，1＜x＜3.x∈(1,3)时，2－x∈(－1,1)，且f(x)＝f(2－x)，又f(x)的周期是4，∴f(x)＝x－4k，4k－1≤x≤4k＋1，－x＋2＋4k，4k＋1＜x＜4k＋3.(k∈Z)f(x)的图象如图课堂互动讲练课堂互动讲练函数的单调性、奇偶性、周期性在命题时，往往综合在一起考查，性质之间相互联系构造出不同的逻辑联系，熟练并能应用这些关系及其变化特征，是本类问题的重点，可在不同的典型题目中来领悟并掌握．函数的单调性、奇偶性、周期性考点三课堂互动讲练例3已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1、x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有0.给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为_______．(把所有正确命题的序号都填上)f(x1)－f(x2)x1－x2课堂互动讲练【思路点拨】先用赋值法求出f(3)的值，得出周期性，再结合偶函数的性质判断．【解析】令x＝－3，可得f(3)＝0，故①正确；∵f(x＋6)＝f(x)，又f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝－6对称，∴②正确；课堂互动讲练由题意知，x∈[0,3]时，f(x)单调递增，又f(x)为偶函数，f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)在[－9，－6]上单调递减，③不正确；由f(3)＝0可知，f(－3)＝f(－9)＝f(9)＝0，∴④正确．【答案】①②④课堂互动讲练【点评】本题并不是具体函数，显得较为抽象，可以画出适当的函数草图(示