高等数学反例集

目录高等数学部分：第一章函数与极限………………………………………………………………………2第二章一元函数的连续性………………………………………………………………11第三章一元函数的导数…………………………………………………………………15第四章中值定理与导数的应用…………………………………………………………20第五章多元函数…………………………………………………………………………28第六章积分………………………………………………………………………………40第七章级数…………………………………………………………………………‥…48线性代数部分：第一章n阶行列式………………………………………………………………………53第二章矩阵……………………………………………………………………………53第三章n维向量、线性方程组………………………………………………………‥56第四章特征值…………………………………………………………………………61第五章二次型…………………………………………………………………………62概率统计部分：第一章随机事件及其概率……………………………………………………………63第二章随机变量极其分布……………………………………………………………66第三章独立性与相关性相容性………………………………………………………70第四章随机变量的数字特征…………………………………………………………76第五章参数估计与假设检验…………………………………………………………791高等数学部分：第一章函数与极限1.周期函数未必存在昀小正周期。例1：常数函数(),fxC=它以任意数为周期，故不存在昀小正周期。例2：狄利克雷函数,它以任意有理数（或无理数）为周期，从而也没有昀小正周期。1()0xDxx⎧=⎨⎩为有理数为无理数2.周期函数之和未必是周期函数。例：()[],()cos.fxxxgxx=−=()1fxπ以为周期，g(x)以2为周期，()fx+而却不是周期函数。()[]cosgxxxx=−+3.有界函数与无界函数之积未必无界。例1：()0,()fxgx==x，在区间(),−∞+∞内()fx有界，无界，而却在区间(内有界。()gx()()0fxgx=),−∞+∞例2：(),()xfxegxx−==，在区间()0,+∞内()1fx,而是无界的，()gx()()xfxgxxe−=，因为lim0xxxe−→+∞=，从而易见()()fxgx在区间()0,+∞内是有界的。4.无界函数之和（差，积，商）未必无界。例1：11()1,()fxgxxx=−=，两函数均在区间()0,1内无界，而却在区间内有界。()()1fxgx+=(0,1)例2：()tan,()cotfxxgx=x=，两函数均在区间0,2π⎛⎞⎜⎝⎠⎟内无界，而却在区间()()1fxgx=0,2π⎛⎞⎜⎝⎠⎟内有界。例3：211(),()fxgxxx==，两函数均在区间()0,1内无界，而()()fxxgx=却在区间()内有界。0,15.有单值反函数的非单调函数。2例：⎩⎨⎧−=.,;,)(为无理数为有理数xxxxxf是非单调函数，但是存在单值反函数；)(xf⎩⎨⎧−=−.,;,)(1为无理数为有理数xxxxxf可见函数在区间上上单调只是存在反函数的充分条件，并非必要。6.由于使用极限“ε─δ”定义不准确产生的反例。函数定义在上，)(xf),(ba),(0bax∈，对任给,0ε存在,0δ当δ−0xx时，恒有ε−Axf)(，其中是常数。但是AAxfxx≠→)(lim0。例：1,sin)(==Axxf在点，对作给00=x,0ε存在,0δ当δ−0xx时，总有ε≤−=−01sin)(xAxf但是。100sin)(lim0≠==→xfxx上面说明极限的定义是很严谨的，要想掌握好极限概念，有对其定义逐字推敲的必要。7.函数在点附近有界，但不存在。)(xf0x)(lim0xfxx→函数如果在某一点的极限存在，则在该点附近一定有界，但是反之结论不真。例⎪⎩⎪⎨⎧−−−=+−=01,10,010,1)(xxxxxxf在（-1，1）内恒有1)(xf，但是1)(lim,1)(lim00==−+→→xfxfxx所以不存在。)(lim0xfx→8.函数在点没有极限，但对任意实数，存在收敛于的数列，使得)(xf0xa0xnxaxfnn=∞→)(lim3如果函数在某一点的极限存在，那么收敛于这一点的任何一个子序列所对应的函数序列，必收敛到同一极限。但是一旦极限不存在，收敛于这一点的各子序列所对应的函数序列就可能出现各种性态。例：xxxf1sin1)(=因为221ππ+=kxk时，,......,2,1,22)(=+=kkxfkππ2321ππ+=kxk时，,......,2,1,232)(=−−=kkxfkππ故不存在。)(lim0xfx→而对任何一个实数，总存在正整数，使akakπ2。假定是使不等式成立的昀小正整数，记0k,......,3,2,1,0=+=nnkkn显然，在)(xf⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ππ121,21nnkk上连续且昀大值为221ππ+−nk，昀小值为)232(1ππ+−−nk。因为22222321001ππππππ+−−−−−nnkkakk，所以由连续函数的介值定理知存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈−ππ121,21nnnkkx，使得axfn=)(显然，对于数列{有}nx,0lim=∞→nnx且,)(limaxfnn=∞→1)满足的无界数列。∞≠∞→nnxlim例：。nnnx])1(1[−+=对任意正数M，只要取N=，当M2logNkn=2时，就有MxMkkkn==−+=2log22222])1(1[，所以数列无界。但对n=2k+1,k=1,2,……时=0，即不收敛，所以nxnxnx∞≠∞→nnxlim。2)数列}{nx，}{ny，}{nz存在关系：,0)(lim,.....,2,1,=−=≤≤∞→nnnnnnyznzxy但是极限n却不存在.nx∞→lim4例：数nnzyxnnnnnn11)1()1(,)1(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=−−=−=n=1,2,3,……有,02lim)(lim,.....,2,1,==−=≤≤∞→∞→nyznzxynnnnnnn但是极限不存在.nnnnx)1(limlim−=∞→∞→本例说明,极限存在准则1中条件nnnnzy∞→∞→=limlim不能更换成,0)(lim=−∞→nnnyz9.,)(lim,)(limBxAxAnax==→→ψϕ但是Bxax≠→))((limϕψ的复合函数.例：⎪⎩⎪⎨⎧==为无理数是互质整数xqqpqpxqx,0;0,,,,1)(ϕ⎩⎨⎧=≠=.0,0;0,1)(xxxψ因为对任给,0ε存在,εδ=对0=a的δ邻域内的任何一点x,若x为无理数,则;0000)(εϕ=−=−x若x为有理数,qp其中p,q为互质整数,且q0,则,010)(εδϕ=−=≤=−xqpqx所以0)(lim0=→xxϕ.对于),(xψ显然有,1)(lim0=→xnψ然而⎩⎨⎧=为无理数为有理数xxx0;1))((ϕψ因此))((lim0xxϕψ→不存在.10.数列收敛于零,是另一数列,而nxny0lim≠=∞→kyxnnn例：nnnnyx2,21==显然不存在,然而nnnnyx∞→∞→=lim,0lim1lim=∞→nnnyx,即数列收敛于1.nnyx11.两数列,有,但是数列都不收敛于零.nnyx,0lim=∞→nnnyxnnyx,两个数列对应项乘积作成的新数列收敛于零,并不意味着这两个数列本身也必须收敛于5零.因为乘积趋于无穷小,往往只需其中一个因子趋于无穷小,而另一个保持有界就足够了.例：ππnynxnncos1,cos1−=+=.数列都不收敛,但是.nnyx,0sinlimlim2==∞→∞→πnyxnnnn12.axnn=∞→lim,而的数列.axnn≠∞→lim例：)4sin(ππ+=nxn.22)4sin(limlim=+=∞→∞→ππnxnnn,但是不存在.因为nnx∞→lim22,......2,1,2===nxkkn时，,22,......2,1,12−==+=nxkkn时，13.关于无穷小量、非无穷小量四则运算的反例．a.由无限多个无穷小量之和生成的非无穷小量．有限多个无穷小量之和是无穷小量，这个性质不能推广到无限多个．将无限多个无穷小量累加起来，就可能根本改变它们原有的特性．例１：1(1)1niniiixnin⎧≤⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩n=1,2,……,i是确定的正整数．显然．当i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量．但是这无限多个无穷小量的和0lim=∞→ninx,......,21nnxx∑∑∑∑∑=∞→−=∞=−=∞=++=+==kniknininininiininiinxxxs)1(1lim111111)]111(......)2111()111[(lim1+−+++−+++−+−=∞→kknnnnnnk111=+−=nnn.因此，这无限多个无穷小量之和是一个收敛于１的数列．例２：inxni+=1n=1,2,……,i是确定的正整数．由于．当i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量．但是这无限多个无穷小量的和是正无穷大，即0lim=∞→ninxns+∞=+==∑∑∞=∞=111iinininxs．6这是因为上面的级数只不过是将调和级数删去前几项．b.由无限多个无穷小量之积生成的非无穷小量．例１：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=−inninninixnni1)1(,1112n=1,2,……,i是确定的正整数．由于．当i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量．而这无限多个无穷小量之积0lim=∞→ninx∏∏∏∏∏∞+=−−=∞+=−=∞=+−⋅+⋅=⋅⋅==121111111))1)(1(()1()1()()(ninninininnniniininiiinnxxxxD因为∏∏+=∞+=∞→+−=+−kninikiiiiii1212))1)(1(lim)1)(1(22222)1)(1()1()2(.....)3()4)(2()2()3)(1()1()2(limkkkkkknnnnnnnnnk+−⋅−−⋅+++⋅+++⋅++=∞→1)1()1(lim+=++=∞→nnknknk，所以211)11(1)1(1−−−+=+⋅+=nnnnnnnnnD，而enDnnnn=+=−∞→∞→2)11(limlim因此这无限多个无穷小量的积是一个收敛于e的数列．例２：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=inninninixnni1)1(,112n=1,2,……,i是确定的正整数．当i=1,2,……时，同样得到无限多个无穷小量，这时211111)11)(1(1)1(1)()(−−∞+=−=∞=++=+⋅+=⋅⋅==∏∏∏nnnnininnniniininnnnnnnxxxxD，而+∞=++=−∞→∞→2)11)(1(limlimnnnnnnD．即无限多个无穷小量的积是一个发散的数列．7有限个无穷小量的积是无穷小量，这性质同样不能推广到无限多个无穷小量的乘积上去．这是因为每个无穷小量只是在变化的某个时刻后才任意小，而在这时刻之前变量可以有较大的值．如果在构造这无穷多个无穷小量时，让其进入任意小的时刻构成一个趋于无穷大的序列，同时，适当选取这时刻前变量的值，这样，对应每一个子n，只有有限多个无穷小量在这个时刻已进入任意小，而有无限多个无穷小量仍处在可以取较大值的阶段（这种特性是有限多个无穷小量的乘积所没有的），于是就可能出现性质上的变异．c.由两个非无穷小量之和生成的无穷小量．例：,......2,1,cos,12=−==nnyxnnπ这里,1)cos(limlim,1lim2−=−==∞→∞→∞→nyxnnnnnπ而,......2,1,sincos122==−=+nnnyxnnππ显然,......2,1,0sinlim)(lim2===+∞→∞→nnyxnnnnπd.由两个非无穷小量之积生成的无穷小量．例：nynnxnnππco