第1页共7页南昌大学2010~2011学年第二学期期末考试试卷参考答案与评分标准试卷编号:6032(B)卷课程编号:Z5502B011课程名称:数学物理方法考试形式:闭卷适用班级:物理系09级姓名:学号:班级:学院:专业:考试日期:题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分394021100得分考生注意事项:1、本试卷共7页,请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后,考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分,共39分)得分评阅人说明:两个空的小题,第一个空2分,第二个空1分。1.复数1ie的模为e,主辐角为21弧度。2.若解析函数),(),()(yxivyxuzf的虚部(,)vxyxy且(0)1f,则解析函数为zzi。3.2000|2009|3(2011)zzdz0。4.在12z的环域上,函数1()(1)(2)fzzz的洛朗级数展开为11011[(1)]32kkkkkzz5.2012x2011ecosx()xdxe。第2页共7页6.函数sin/()zzfze在0z的奇点类型为可去奇点,其留为0。7.求解本性奇点留数的依据为洛朗级数展开的负一次项系数。8.在(,)这个周期上,()fxx。其傅里叶级数展开为12sinkkxk9.当02x时,()1fx;当20x时,()1fx;当||2x时,()0fx。则函数的()fx傅里叶变换为2()(1cos2)B10.2()1sin3tftet的拉普拉斯变换为211329ppp。11.一根两端(左端为坐标原点而右端lx)固定的弦,用手在离弦左端长为5/9处把弦朝横向拨开距离h,然后放手任其振动。横向位移),(txu的初始条件为、095,[0,]59(,)9()5,[,]49thxlxluxthlxlxll。12.ln(1)i23(21)(2),0,1,2,2nnn。13.判断下面的说法是否正确,正确的在题后的“()”中打√,错误的打×。(1)若函数)(zf在z点可导,则函数)(zf在z点必解析。(×)(2)数学物理方程的定解条件可以不含边界条件但一定要有初始条件。(×)(3)设*z为z的共轭复数,则22*||||zzzz。(√)二、求解题(每小题10分,共40分)得分评阅人说明:要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分22|4|4(3)(1)zzdzIzz第3页共7页解:由题意被积函数22()(3)(1)zfzzz,有一个二阶极点01z和一个单极点03z。(3分)又因为二阶极点01z不在积分回路之内,所以现在只考虑单极点03z,即222233Re(3)lim[(3)]lim[](3)(1)(1)zzzzsfzzzz916(5分)所以复积分22|4|492Re(3)(3)(1)8zzdzIisfizz(2分)2.用留数定理计算实积分2cos4sin236xxxdxx。解:由题意222cos4sin2cos4sin2363636xxxxxxdxdxdxxxx而422cos413636zixdxedzxz(1)222sin213636zixxzdxedzxiz(2)(2分)对于(1)式中,积分函数有两个单极点6i,6i在上半平面,而4236ziez在6i的留数为4424266lim[(6)]lim[]36612zizizizieeezizzii(3分)对于(2)积分中的函数有两个单极点6i,函数在6i的留数为2212266lim[(6)]lim[]3662zizizizizezeezizzii(3分)所以241224122cos4sin2[]36122122xxxeedxieexii(2分)第4页共7页3.用拉普拉斯变换求解2022,(0)|1.ttdydydyyteydtdtdt已知1!][nstnspnet,1!][nnpnt。解:由题意,并根据导数定理,有2222332221()1()12()2(1)1(2)()2(1)11()21(1)(2)112111111()416(1)9(1)271272112812692727ttttpypppypyppppypppyppppyppppppyteteee(分)(分)(分)(分)第5页共7页4.试给出偏微分方程237540xxxyyyxyuuuyuxuu的特征方程,并判断其类型,然后求解特征方程,最后给出能使方程化为标准形的自变量变换(注意:不必写出标准形)。解:由题意,偏微分方程237540xxxyyyxyuuuyuxuu知,111222121,1,3,7,5,1,4aaabybxcf所以,该微分方程的特征方程为2111222()2()0dydyaaadxdx(2分)即,2()2()30dydydxdx(1)又因21211221340aaa,(4分)该偏微分方程为双曲型。由(1)式3dydx或者1dydx可以确定两组特征线:123yCyxC(3分)所以变量变换应为3yxyx(1分)第6页共7页三、偏微分方程求解题(共21分)得分评阅人1.试写出达朗贝尔公式,并求解偏微分方程40ttxxuu,初始条件为00,cos2cos3tttuxuxx。(本小题10分)解:由题意11(,)[()()]()22xatxatuxtxatxatda(2分)初始条件00(),()cos2cos3tttuxxuxxx2a所以2222222211(,)[()()]cos2cos3221cos2cos3411[cos(32)cos(32)]4211coscos5881(,)[sin(2)sin(2)]81[sin(40xatxatxtxtxtxtxtxtxtxtuxtxatxatdaxdxdxdduxtxxtxt(6分)510)sin(510)]2xtxt(分)第7页共7页2.设)(xX满足方程0XX和边界条件'(0)'(2)0XX,其中可为任意实数,试根据的可能取值求解方程,并根据边界条件确定本征值和本征函数。(本小题11分)解:(1)由题意,对于常微分方程:()()0XxXx(1)(0)(2)0XX(2)现在先求解X,对0,0,0三种情况进行讨论:a)0,由(1)式的解是12()xxXxCeCe积分常数1C,2C,由(2)决定,即120CC,22120EECeCe由此得出01C,02C而0)(xX。无实际意义,即0无可能性。(3分)b)0,式(1)的解是21)(CxCxX则根据(2)式,有10C,1(2)0XC即2C为任意数此时2()XxC。(3分)c)0,由(1)解是12()cossinXxCxCx则由(2)式,有1sin20C,20C,由此有01C且02C或者20C和sin20因01C,02C时,0)(xX无实际意义。因此,只能有sin20E和20C由sin20同时我们可以得到的表达式:2,(1,2,3)4kk(3)(4分)对应的本征函数为:21()cos,(1,2,3)4kXxCxk(1分)