费马大定理――一个困惑了世间智者358年的谜

读后感：《费马大定理》一个困惑了世间智者358年的谜从表面上看，这似乎只是一本数学方面的科普著作。但作者在结构安排上，颇具巧思，以至于在很大程度上写成了一本数学史的入门读物。因为费马大定理虽然显得很独特，但它并不是横空出世，总要有它的来龙去脉。为此作者从古希腊的毕达哥拉斯定理说起，娓娓道来。每一个重要的概念、每一个阶段性成果，都成为作者讲述数学知识的契机。书中两条线索相互交织，一条是怀尔斯的成长和工作进程，一条是与费马大定理有联系的各种数学知识。本书作者作者是剑桥大学的物理学博士，又是媒体从业人员，因此很能把握读者心理，讲数学知识时总能“见好就收”，不使读者出现厌倦之感。与此同时，各种用来吸引读者的花絮却层出不穷。这是一本值得科学爱好者和科普工作者阅读的书。一部惊险小说业余数学家之王•费尔玛(Fermat,1601—1665),法国数学家，他非常喜欢数学，常常利用业余时间研究高深的数学问题，结果取得了很大的成就，被人称為“业余数学家之王”•费马凭借丰富的想像力和深刻的洞察力，提出一系列重要的数学猜想费尔马小猜想•1640年，费尔马在研究质数性质时，发现了一个有趣的现象：•当n=1时，22n+1=221+1=5；•当n=2时，22n+1=222+1=17；•当n=3时，22n+1=223+1=257；•当n=4时，22n+1=224+1=65537；•猜测：只要n是自然数，22n+1一定是质数•1732年，欧拉进行了否定费马小定理•如果P是一个质数，那么对于任何自然数n，nP-n一定能够被P整除•这个猜想已证明是正确的，这个猜想被称为“费马小定理”•利用费马小定理，是目前最有效的鉴定质数的方法费马大定理•1637年前后，费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这样一个结论（现在的写法）：•同时又写下一个附加的评注：“对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下”PierredeFermat1601-1665Cubemauteminduoscubos,autquadratoquadratuminduosquadratoquadratos,etgeneraliternullamininfinitumultraquadratumpotestateminduoseiusdemnominisfasestdividere;Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexhancmarginisexiguitasnoncaparet.对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下。不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。xn+yn=zn,(n2)无整数解（1637年）这是真的（1994年）费马大定理产生的历史性背景费尔马大定理，启源于两千多年前，挑战人类三个多世纪，多次震惊全世界，耗尽人类最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷古希腊,丢番图《算术》第II卷第八命题：“将一个平方数分为两个平方数”即求方程x2+y2=z2的正整数解PythagorasofSamosB.C.572–B.C.497毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。x2+y2=z2万物皆数上帝恩赐他生命的1/6为童年；再过生命的1/12，他双颊长出了胡子；再过1/7后他举行了婚礼；婚后5年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父亲生命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀思，4年之后亦撒手人寰。—丢番图的墓志铭42157112161LLLLLL=84DiophantusofAlexandriaB.C150-A.D.364不定方程:是指末知数个数多于方程个数的代数方程或代数方程组。附加的评注：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。费马猜想及其证明（1）为什么费马猜想叫做费马定理呢？因为费马曾经提出过的命题，都已经被证实或否定，只剩下这一题，未能获证。因为经过三百多年，都没有人能作出反例，所以人们相信是它是正确的，是一个定理。（2）费马提出这命题后三十年才去世，为什么会把这个命题做“费马最后定理”呢？两个问题n=4的证明费马在给朋友的信中，曾经提及他已证明了n=4的情况。但没有写出详细的证明步骤1674年，贝西在少量提示下，给出这个情形的证明证明步骤主要使用了“无穷递降法”再进一步欧拉1770年提出n=3的证明xn+yn=zn，当n=3,4时无整数解LeonhardEuler,1707-1783欧拉的策略：证明某结论对于简单情形成立，再证明任何使情形复杂化的操作都将继续保持该结论的正确性。无穷递降法：假设某结论对于某正整数成立，那么，可以求出或构造出更小的正整数使得该结论对于该更小整数也成立。……，无限地进行下去，就可得到一个无穷正整数列，而正整数是有限数，故假设不成立。无穷递降法的精神一直到现在都在用，这就是高度理论，或称高度有限性理论。(X1,Y1,Z1)(X2,Y2,Z2)…(Xk,Yk,Zk)…若xk+yk=zk无正整数解，则xmk+ymk=zmk也无正整数解。为证明费马大定理对n的一切值成立，我们仅仅需要证明它在n取素数值时成立。数学家们认为素数是最重要的数，因为它们是数学中的“原子”。素数是数的建筑材料，因为所有别的数都可以由若干个素数相乘而得。n=5的证明勒让德Legendre(1752-1833)狄利克雷Dirichlet(1805-1859)法国人1823年，证明了n=5德国人1828年，独立证明了n=51832年，解决了n=14的情况索非▪热尔曼,法国数学家热尔曼素数：使2p+1为素数的那些素数p热尔曼定理：当p和2p+1皆为素数时xp+yp=zp无整数解热尔曼初步完成了n=5的证明新的方向SophieGermain1770-1831n=7的证明拉梅GabrielLamé(1795-1870)法国人1839年，证明了n=73月1日，拉梅宣布他已证明了“费马最后定理”：拉梅将xn+yn分解成(x+y)(x+y)(x+2y)…(x+n-1y)其中=cos(2/n)+isin(2/n)，即方程rn=1的复根如果xn+yn=zn，那么拉梅认为每一个(x+ky)都会是n次幂乘以一个单位，从而可导出矛盾但是，拉梅的好友刘维尔Liouville指出，拉梅的证明中有很大的漏洞拉梅忽略了“唯一分解定理”的考虑同时，柯西（Cauchy）亦宣布他早已取得“费马最后定理”的初步证明3月22日，两人同时向巴黎科学院提出自己的证明。不过，对于“唯一分解定理”的问题，二人都未能成功地解决。5月24日，德国数学家库麦尔发表了一封信，指出“唯一分解定理”的必要性，亦清楚地显示，拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。“唯一分解定理”在一般的整数中，每一个合成数都只可能被分解成一种“质因数连乘式”但在某些“复整数”中，情况未必相同例如：)51)(51(326---为互不相同的质数的复数中而在)51(),51(,3,2,5----ba唯一分解定理”的复整数，并不符合“换句话说，形如5-baErnstKummer1810-1893德国数学家E·库莫尔1847年他证明了对于小于100的除了37，59和67这三个所谓非正则素数以外，费尔玛大定理成立。为了重建唯一分解定理，库默尔在1844-1847年间创立了理想数理论。1857年，库麦尔获巴黎科学院颁发奖金三千法郎突破性的进展分圆整数及理想数•已知n为一质数，假设=cos(2/n)+isin(2/n)，即方程rn=1的复数根，则称下面的数为“分圆整数”：a0+a1+a22+……+an-1n-1，其中ai为整数。•并非每一个分圆整数集合都满足“唯一分解定理”，但如果能够加入一个额外的“数”，使该分圆整数集合满足“唯一分解定理”，则称该数为“理想数”•库麦尔发现，当n为一些特殊的质数时，他称之为“正规质数”，就可利用“理想数”来证明“费马定理”。悬赏十万马克德国的沃尔夫斯克勒Wolfskehl(1856-1908)订立遗嘱，悬赏十万马克，奖赏在他死后一百年内能证明“费马最后定理”的人在最后时刻挽救自杀德国商人，学习医学，1883年跟库麦尔学习DavidHilbert,1862-1943“费马猜想是一只会下金蛋的鸡”。“证明这种不可能性的尝试，提供了一个明显的例子，说明这样一个非常特殊、似乎不十分重要的问题会对科学产生怎样令人鼓舞的影响”。无数英雄尽折腰1941年，雷麦证明当n〈253747887时，“费马最后定理”的第一种情况成立。1977年，瓦格斯塔夫证明当n125000时，“费马最后定理”成立。无数英雄尽折腰1983年德国数学家G.法尔廷斯证明：对于每一个大于2的指数n，方程xn+yn=zn至多有有限多个解。赢得1986年的菲尔兹奖1988年，日本数学家宫冈洋一宣布以微分几何的角度，证明了“费马最后定理”！不过，该证明后来被发现有重大而无法补救的缺陷，证明不成立！RobertLanglands1936.10.06-“朗兰兹纲领”，是美国数学家罗伯特·朗兰兹在20世纪70年代提出的。“朗兰兹纲领”是对数论领域中重大难题的一个系统研究计划和纲领。朗兰兹纲领：寻找所有主要数学课题之间存在着的统一的连接的环链。在某个数学领域中无法解答的任何问题，可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果仍然难以找到解答，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中，继续下去直到它被解决为止。费马大定理的解决•费尔玛大定理被彻底征服的途径涉及到这一领域的所有前人出乎意外，最后的攻坚路线跟费尔玛本人、欧拉和库莫尔等人的完全不同，他是现代数学诸多分支(椭圆曲线论、模形式理论、伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论。椭圆曲线定义：我们称一条亏格数等于1的非奇异代数曲线为“椭圆曲线”简单来说，就是由满足方程y2=x3+ax+b的点所组成的曲线，其中a、b为任意的有理数。“椭圆曲线”原本用来研究“椭圆函数”，而椭圆函数则用于计算椭圆的周长。事实上，椭圆曲线的形状和椭圆形完全不同。现在“椭圆曲线”已被独立地研究。y2=x3-xy2=x3-3x+3椭圆曲线不难证明：当直线穿过两个位于椭圆曲线上的有理点后，该直线必定与曲线再相交于第三个有理点。由此可知椭圆曲线上的有理点可形成一个“群”由于以上性质可以用来解答很多相关的问题，故此“椭圆曲线”经常被人研究。例如：应用于“编码理论”和“加密学”上。椭圆曲线的性质谷山—志村猜想谷山丰(1927-1958)志村五郎（生于1926）•1954年，志村五郎于东京大学结识谷山丰。•之后，就开始了二人对“模形式”的研究。•1955年，谷山开始提出他的惊人猜想。•1958年，谷山突然自杀身亡。•其后，志村继续谷山的研究，并提出以下的猜想：•谷山—志村猜想每一条椭圆曲线，都可以对应一个模形式。谷山—志村猜想模形式“模形式”f是一个定义在半复平面上（即对于复数z，Imz0的集合）并满足下列条件的复变解析函数：f((az+b)/(cz+d))=(cz+d)kf(z)，其中k为正整数，a、b、c、d为整数并且ad-bc=1f(z)=ane2inz，其中an为复数，n为由0至无限大的整数法国数学家，发明“自守函数”庞加莱Poincaré(1854-1912)所谓“自守函数”，就是周期函数的推广，而“模形式”可以理解为在复平面上的某种周期函数“模形式”的起源•起初，大多数的数学家都不相信“谷山志村猜想”•60年代后期，众多数学家反复地检验该猜想，既未能证实，亦未能否定它。•到了70年代，相信“谷山