苏教版高中数学必修一知识点总会

高中数学第1页共14页高中数学必修一一、集合1.1集合的含义及其表示1.定义：一般的，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素。2.特别的，自然数集记作N，正整数集记作N*或N+，,整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.3.集合的元素常用小写拉丁字母表示.如果α是集合A的元素，那么就记作α∈A，读作“α属于A”，例如2∈R；如果α不是集合A的元素，那么就记作α∉A，读作：α不属于A，例如2∉Q.4.集合中的元素具有确定性（a∈A和a不属于A，二者必居其一）、互异性（若a∈A，b∉A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。5.集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法。6.一般的含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。7.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø，例如，高中数学第2页共14页集合{x|x2+x+1=0,x∈R}就是空集。1.2子集、全集、补集1.子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（若α∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.2.如果A⊆B并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB,读作“A真包含于B”，如{α}{α，b}.3.根据子集的定义，我们知道A⊆A，也就是说，任何一个集合是它本身的子集.对于空集Ø，我们规定Ø⊆A，即空集是任何集合的子集.4.设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为CsA(读作“A在S中的补集”），即CsA={x|x∈S，且x∉A}.5.如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常可以记作U.例如，在实数范围内讨论集合时，R便可以看做一个全集U.1.3交集、并集1.一般的，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作：“A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.高中数学第3页共14页2.一般的，由所有属于集合A，或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.3.为了叙述方便，在以后的学习中，我们常常会用到区间的概念.设a，b∈R，且a＜b，规定[a,b]={x|a≤x≤b}，(a,b)={x|a＜x＜b}，[a,b)={x|a≤x＜b}，(a,b]={x|a＜x≤b}，（a，+∞）={x|x＞a}，（-∞，b）={x|x＜b}，（-∞，+∞）=R.[a,b],(a,b)分别叫做闭区间、开区间：[a,b),(a,b]叫做半开半闭区间：a,b叫做相应区间的端点.读法：∞读作：无穷大；+∞读作：正无穷大（简读：正无穷）；-∞读作负无穷大（简读：负无穷）.[a,b]读作：闭区间a到b；(a,b)读作：开区间a到b；[a,b)读作：左闭右开a到b；(a,b]读作：左开右闭a到b；（a，+∞）读作：开区间a到正无穷；（-∞，b）读作：开区间负无穷到b；（-∞，+∞）读作：负无穷到正无穷；[a，+∞）读作：闭区间a到正无穷；（-∞，b]读作：开区间高中数学第4页共14页负无穷到b。注意：不可写成：（+∞，-∞）×、（b，-∞）×、（+∞，a）×.高中数学第5页共14页二．函数2.1函数的概念1.一般地，设A,B是俩个飞空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y=f（x），x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域.2.给定函数时要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域那么就认为函数的定义域是指函数表达式有意义的输入值的集合。3.若A是函数y=f（x）的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应.我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.4.将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f（x0）作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点（x0，f（x0））.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为：{（x，f(x))|x∈A}即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f（x）的图像.高中数学第6页共14页5.函数的表示方法：列表法，解析法，图像法.2.2函数的简单性质1.一般地，设函数y=f（x），的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意俩个值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)那么就说y=f（x）在区间I上是单调增函数，I称为y=f（x）的单调增区间.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)那么就说y=f（x）在区间I上是单调减函数，I称为y=f（x）的单调减区间.2.如果函数y=f（x）在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.3.一般地,设y=f（x）的定义域为A.如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f（x）≤f（x0）那么称f（x0）为y=f（x）的最大值，记为ymax=f（x0）如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f（x）≥f（x0）那么称f（x0）为y=f（x）的最大值，记为高中数学第7页共14页ymin=f（x0）4.例：对于函数f（x）=x2，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等.例如，f（-2）=4=f（2）f（-1）=1=f（1）f（-21）=41=f（21）实际上，对于函数f（x）=x2的定义域R内任意一个x，都有f（-x）=x2=f（x）.这时我们称函数f（x）=x2为偶函数.5.例：对于函数f（x）=-x1（x≠0），当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等.例如，f（-2）=21=-f（2）f（-1）=1=-f（1）f（-31）=3=-f（31）实际上，对于函数f（x）=-x1的定义域{x|x∈R，x≠0}内任意一个x，都有f（-x）=x1=f（x）.这时我们称函数f（x）=-x1（x≠0）为奇函数.6.定义:一般地,设函数y=f（x）的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x）那么称y=f（x）是偶函数。如果对于任意的x∈A，都有高中数学第8页共14页f（-x）=-f（x）那么称y=f（x）是奇函数。7.如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f（x），具有奇偶性.根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.高中数学第9页共14页三、指数函数、对数函数、幂函数3.1指数函数1.根式我们知道，如果x2=a,那么x称为a的平方根;如果x3=a,那么x称为a的立方根.一般地，如果一一个实数x满足xn=a(n1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根.当n为奇数时，正数的n次实数方根是个正数，负数的n次实数方根是一个负数。这时，a的n次实数方根只有一个,记为x=na,例如，33=27→3=327(-2)3=-8→-2=38-x3=6→x=36当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数.这时，正数a的正的n次实数方根用符号na表示，负的n次实数方根用符号-na表示，它们可以合并写成na(a0)的形式，例如，x4=6→x=士46;x2=3→x=士3.需要注意的是，0的n次实数方根等于0.式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.2.分数指数幂高中数学第10页共14页观察下面变形(25)2=210→102=255=210→102=2102这表明,当m被n整除时,就有nma=nma一般地,我们规定nma=nma(a＞0,m,n均为正整数)仿照负整数指数幂的意义,我们规定nm-a=nma1(a＞0,m,n均为正整数)且0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.有了分数指数幂的意义以后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变,即Asat=as+t(as)t=ast(ab)t=atbt其中s,t∈Q,a＞0,b＞0.2.指数函数一般地,函数y=ax(a＞0,a≠1)叫做指数函数,它的定义域是R.高中数学第11页共14页3.对数函数一般地，如果a(a0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b,其中，a叫做对数的底数,N叫做真数.(log读作：lōugōu）由对数的定义可知，ab=N与b=logaN两个等式所表示的是a,b,N这3个量之间的同一个关系.例如，32=9↔log39=2;log42=21↔214=2.4.通常将以10为底的对数称为常用对数,如log102，log1012等.为了方便起见,对数log10N简记为lgN,如1g2,1g12等.（lg读作：lōugōu）5.在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数.e=2.71828...是一个无理数.正数N的自然对数logeN一般简记为lnN,如loge2,loge15分别记为ln2,ln15等.（ln读作：lōuyīn）5.对数函数运算性质：高中数学第12页共14页NMMNaaalogloglog）（，①NMNMaaalogloglog②MMananloglog，③其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞O，n∈R.证明性质①设logaM=p,logaN=q.由对数的定义得M=ap，N=aq,∴MN=aPaq=ap+q故loga(MN)=p+q=logaM+logaN，即loga(MN)=logaM+logaN.同样地，可以证明性质②和性质③.6.一般地我们有：logaN=aloglogccN(其中a＞0,a≠1,N＞0,c＞0,c≠1)这个公式称为对数的换底公式.7.一般地,函数y=logax(a＞0,a≠1)叫做对数函数,它的定义域是(0,+∞).高中数学第13页共14页8.对数函数y=logax的图像与性质a＞10＜a＜1图像性质定义域：（0，+∞）值域：R图像过点（1,0）在(0,+∞)上是单调增函数在(0,+∞)上是单调减函数3.3幂函数1.一般地我们把形如y=xa的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。2.一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.从图象上看，函数y=f(x)的零点，就是它的图象与x轴交点高中数学第14页共14页的横坐标.Δ=b2-4acΔ＞0Δ=0Δ＜0ax2+bx+c=0的根x1,2=a2ac4-bb-2x1=x2=a2b-方程无实数根y=ax2+bx+c的图像y=ax2+bx+c的零点x1,2=a2ac4-bb-2x1=x2=a2b-无零点一般地，若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.