2011-2017新课标高考数学极坐标与参数方程分类汇编

2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编1.【2011年新课标】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2cos22sinxy（为参数），M是C1上的动点，P点满足𝑂𝑃→=2𝑂𝑀→，P点的轨迹为曲线C2.（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.【答案】（1）设P(x,y)，则由条件知(,)22xyM.由于M点在C1上，所以2cos222sin2xy，即4cos44sinxy，从而C2的参数方程为4cos44sinxy（为参数）.（2）曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为8sin.射线3与C1的交点A的极径为14sin3，射线3与C2的交点B的极径为28sin3.所以21||||23AB.2.【2012年新课标】已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,ABCD依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,,,ABCD的直角坐标；（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围.【答案】（1）依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636.所以点A，B，C，D的直角坐标分别为(1,3)、(3,1)、(1,3)、(3,1).（2）设2cos,3sinP，则222222||||||||(12cos)(33sin)PAPBPCPD222222(32cos)(13sin)(12cos)(33sin)(32cos)(13sin)22216cos36sin163220sin32,52.所以2222||||||||PDPCPBPA的取值范围为32,52.3.【2013年新课标1】已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinxtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π＝【答案】(1)将45cos,55sinxtyt消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxy代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20xyxyxyy解得1,1xy或0,2.xy所以C1与C2交点的极坐标分别为π2,4，π2,2.4.【2013年新课标2】已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinxtyt(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π＝，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【答案】(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为coscos2,sinsin2,xy(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝2222cosxy(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．5.【2014年新课标2】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos,[0,]2（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标。【答案】（1）C的普通方程为22(1)1(01)xyy可得C的参数方程为1cossinxtyt（t为参数，0t）（2）设(1cos,sin)Dtt由（Ⅰ）知C是以(1,0)G为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同。tan3,3tt故D的直角坐标为(1cos,sin)33，即33(,)226.【2015年新课标1】在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,CC的极坐标方程。（2）若直线3C的极坐标方程为πR4，设23,CC的交点为,MN，求2CMN的面积。【答案】（1）因为cos,sinxy，所以1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40.（2）将4代入22cos4sin40，得23240，解得1222,2.故122，即2MN由于2C的半径为1，所以2CMN的面积为127.【2015年新课标2】在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数,且0t）,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:23cos.CC（1）求2C与3C交点的直角坐标；（2）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值【答案】（1）曲线23:2sin,:23cos.CC的直角坐标方程是.032:;0:222221xyxCyyxC.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得CCyxyx（2）曲线.001），，（的极坐标方程为RC.465.)3sin(4cos32sin2,,cos32,,sin2取得最大值，最大值为时，当所以）的极坐标为（点）的极坐标为（因此点ABABBA8.【2016年新课标1】在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为taytaxsin1cos（t为参数，a＞0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（1）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）直线C3的极坐标方程为a0，其中a0满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。【答案】（1）（均为参数）∴①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为∵∴即为的极坐标方程（2）两边同乘得即②cos1sinxatyatt2221xya1C01，a222210xyya222sinxyy，222sin10a1C24cosC：22224coscosxyx，224xyx2224xy：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为①—②得：，即为∴∴9.【2016年新课标2】在直线坐标系xOy中，圆C的方程为22625xy．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数），l与C交于A、B两点，10AB，求l的斜率．【答案】（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为．（2）记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得，则10.【2016年新课标3】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cosqy=sinqìíïîï为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋4)=2√2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解:（1）C1的普通方程为x23＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0（2）由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα)，∵C2是直线，∴|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(a)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2sin(α＋π3)－2当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(32，12)3C2yx1C2C3C24210xya3C210a1a2212110xy222cossinxyxyC212cos110k0kxy226102521kk22369014kk253k153k【2017新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,xattyt（为参数）。（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a。【答案】（1）曲线C的普通方程为2219xy，当1a时，直线l的普通方程为430xy.由2243019xyxy解得30xy或21252425xy，从而C与l的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525.（2）直线l的普通方程为440xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad.当4a时，d的最大值为917a.由题设得91717a，所以8a；当4a时，d的最大值为117a.由题设得11717a，所以16a。综上，8a或16a。【2017新课标2】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP,求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB面积的最大值．【答案】⑴设00MP，，，，则0||OMOP，．000016cos4，解得4cos，化为直角坐标系方程为2224xy．0x⑵连接AC，易知AOC△为正三角形，||OA为定值．∴当高最大时，AOBS△面积最大，如图，过圆心C作AO垂线，交AO于H点交圆C于B点，此时AOBS△最大max1||||2SAOHB1||||||2AOHCBC32【2017新课标3】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为,,xtykt（t为参数），直线l的参数方程为,,xmmyk（m为参数），设l与l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cossin)l，M为l与C的交点，求M的极径．【解析】⑴将参数方程转化为一般方程1:2lykx……①21:2lyxk……②①②消k可得：224xy，即P的轨迹方程为224xy；⑵将参数方程转化为一般方程3:20lxy……③联立曲线C和3l22204xyxy，解得3