第7章-状态变量分析法

*第七章状态变量分析法*第七章状态变量分析法7.1连续系统状态方程与输出方程的建立7.2连续时间系统状态方程的s域分析法7.3离散系统状态方程与输出方程的建立7.4离散系统状态方程的z域分析法7.5系统的可控制性与可观测性*第七章状态变量分析法7.1连续系统状态方程与输出方程的建立7.1.1描述单输入单输出n阶连续系统输入f(t)与输出y(t)关系的微分方程为)()()()()()()()(111101111tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdnnnnnnnnnnnn(7.1-1)*第七章状态变量分析法算子方程为)()()()(1110111tfbpbpbpbtyapapapnnnnnnnn(7.1-2)对应的n阶连续系统的转移算子函数为nkkknkkknnnnnnnnpapbapapapbpbpbpbpH1011111101)(nkkknkkknnnnnnnnsasbasasasbsbsbsbsH1011111101)((7.1-3)(7.1-4)*第七章状态变量分析法图7.1-1式(7.1-2)的信号流图表示f(t)…y(t)p－1p－1bn－an－an－1－a2－a1b1b0b2bn－1p－1p－1x1x2xn－1xn1xnxnx－1*第七章状态变量分析法1.由系统的直接（微分方程）形式信号流图建立状态方程（1）从右向左按顺序在积分器p-1的输出端建立状态变量xi，p-1的输入端为由于xi顺序相差90°，因此这种状态变量也称其为相位状态变量。（2）列出积分器输入节点与状态变量xi和输入f(t)的关系，并用矩阵表示。（3）列出输出信号y(t)与状态变量xi和输入f(t)的关系，并用矩阵方程表示。iixdtdxix*第七章状态变量分析法用上述方法对图7.1-1的系统流图，讨论状态方程与输出方程的建立。先由n个积分器，如图7.1-1所示，列出n个状态变量x1(t)、x2(t)、…,xn(t)（图中省略了状态变量中的自变量符号(t)），然后再列积分器输入节点的方程:fxaxaxaxaxxxxxxxnnnnn112211433221(7.1-5)*第七章状态变量分析法输出为fbxbabxbabxbabxbabfxaxaxababxbxbxbxbxbxbxbxbtynnnnnnnnnnnnnnnnnn00111022201110112210012111112110)()()()(][)((7.1-6)*第七章状态变量分析法将式(7.1-5)、(7.1-6)分别写成矩阵形式fxxxxaaaaxxxxnnnnnn1000100001000010121121121(7.1-7)*第七章状态变量分析法fbxxxxbabbabbabbabynnnnnn01210110220110][(7.1-8)或fbxxxbabbabbabbabyTnnnnn0210110220110]][[*第七章状态变量分析法式(7.1-7)表示了状态变量x1(t)、x2(t)、…,xn(t)与输入f(t)之间的关系，是图7.1-1系统的状态方程。式(7.1-8)表示了输出y(t)与状态变量x1、x2、,xn之间的关系，是图7.1-1系统的输出方程。式(7.1-7)与式(7.1-8)还可用矢量矩阵表示为DfCxyBfAxx(7.1-9)*第七章状态变量分析法式中00110220110121][1000,100001000010bDbabbabbabbabCBaaaaAnnnnnn(7.1-10)*第七章状态变量分析法式(7.1-9)是图7.1-1的状态方程的一般形式，A、B、C、D是状态方程的系数矩阵。当式(7.1-1)中的输入情况不同时，A与B矩阵相同，而C与D矩阵会有变化，尤其是b0=0，可使C的元素计算大大简化。例如)()()()()(1111tftyatydtdatydtdatydtdnnnnnn(7.1-11)式(7.1-11)是式(7.1-1)除bn=1之外，其余bk(k=0~n-1)为零的特例，它的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为C=［10…00］，D=0(7.1-12)*第七章状态变量分析法若式(7.1-1)中分子多项式的次数为m，分母多项式的次数为n，且mn，则)()()()()()()(11111tfbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdnnmnmnmnnnnnnn(7.1-13)其对应的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为C=［bnbn-1…bn-m0…0］，D=0(7.1-14)*第七章状态变量分析法由以上的方法，当n阶连续系统的微分方程给定，无需绘出系统的信号流图，利用式(7.1-7),(7.1-8)或式(7.1-13)、(7.1-14)可直接写出系统函数的状态方程与输出方程。尤其是分子多项式的次数为m，分母多项式的次数为n，且mn（b0=0），可令fxaxaxaxaxtxtytxtytxtynnnnnnn111211121)()(,),()('),()(*第七章状态变量分析法于是得到状态方程与输出方程为1211212211433221)(mmnnnnnnnnxbxbxbtyfxaxaxaxaxxxxxxx(7.1-15)*第七章状态变量分析法特别的转移算子为的二阶系统，其基本信号流图及状态变量如图7.1-2所示，其状态方程与输出方程为21221)(apapbpbpH2112211221][1010xxbbyfxxaaxx*第七章状态变量分析法图7.1-2二阶系统的信号流图yfb2x1x2b1－a2－a1p－1p－12x*第七章状态变量分析法在图7.1-1中，状态变量的序号是从右往左排序的，如果如图7.1-3所示从左往右排，不难推出其状态方程与输出方程的矩阵形式为12312112211nnnnnnnxxxxxxfxaxaxaxax(7.1-16a)*第七章状态变量分析法fbxbabxbabxbabxabbtfxaxaxaxabxbxbxbxbxbxbxbtynnnnnnnnnnnnnnnnnn001011202210111221101111101111)()()()()]([)((7.1-16b)*第七章状态变量分析法将式(7.1-16a)、(7.1-16b)分别写成矩阵形式fxxxxaaaaxxxxnnnnn000101000000100001121321121(7.1-17a)*第七章状态变量分析法fbxxxxbabbabbabbabynnnnnn01210011022011][(7.1-17b)*第七章状态变量分析法图7.1-3式(7.1-2)状态变量排序不同的流图f(t)…y(t)s－1s－1bn－an－an－1－a2－a1b1b0b2bn－1s－1s－1xnx2xn－1x11xnx*第七章状态变量分析法由式(7.1-17a)、(7.1-17b)可见，相同的系统函数与信号流图，状态变量的选择不是惟一的，当状态变量不同时，对应的状态方程与输出方程不同。式(7.1-17a)与式(7.1-17b)式也可简化为DfCxyBfAxx*第七章状态变量分析法式中00011022011321][0001,0100000100001bDbabbabbabbabCBaaaaAnnnnn(7.1-18)*第七章状态变量分析法图7.1-4单输入单输出系统状态变量分析法f(t)y(t)BACxdx′p－1*第七章状态变量分析法式(7.1-9)是用矩阵矢量表示状态方程与输出方程的一般形式，即dfCxyBfAxx式中的系数矩阵的一般形式为dDcccCbbbBaaaaaaaaaAnTnnnnnnn][][2121212222111211(7.1-19)*第七章状态变量分析法式(7.1-9)、(7.1-19)是单输入单输出系统的状态表示与参数矩阵，其中的A是n×n的方阵，B是n维列矩阵，C是n维行矩阵，d是单个常数。更一般地，若n阶连续系统有m个输入信号f1,f2,…,fm，L个输出信号y1,y2,…,yL，则状态方程与输出方程分别用矩阵矢量表DfCxyBfAxx式中TLTmTnyyyyffffxxxx][,][][212121*第七章状态变量分析法LmLLmmLnLLnnnmnnmmnnnnnndddddddddDcccccccccCbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA212222111211212222111211212222111211212222111211,,A、B、C、D都是常数矩阵，称为参数矩阵。*第七章状态变量分析法2.参数矩阵的物理意义本书主要分析单输入单输出的情况，由图7.1-4可以讨论A、B、C、D的物理意义，图中x、x是状态变量。A矩阵是由状态矢量x到状态矢量x所有反馈支路增益组成的矩阵，其中aij表示由第j个状态变量节点xj到第i个状态变量xi的支路增益。B矩阵是由输入f(t)到状态矢量x所有支路增益组成的矩阵，其中bi表示由输入节点到第i个状态变量的xi支路增益。.....*第七章状态变量分析法C矩阵是由状态矢量x到输出节点所有支路增益组成的矩阵，其中ci表示由状态变量xi(t)到输出节点所有的支路增益。D矩阵是输入输出之间的支路增益，在单输入单输出时，D=d,表示输入节点直通输出节点的支路增益。若网络中两节点之间没有支路，则其支路增益为零；而自己到自己的节点反馈支路增益为1。状态方程与输出方程利用四个参数矩阵描述了系统内部的结构。系统内部结构确定了，由信号流图就可以求出系统的状态方程与输出方程。对简单的信号流图，可利用参数矩阵的物理意义直接写出状态方程与输出方程，或四个参数方程。*第七章状态变量分析法例7.1-