1.4正余弦函数的图象与性质

1.4三角函数的图象与性质SHUXUE必修4返回介绍正弦函数的图象例题学习流程余弦函数的图象三角函数的性质23221o6323561sin662xy当时，3sin332xy时，32“”我们不容易在数轴上准确标出。x是以角为自变量，以比值为函数值的函数。sinyx通过前面的学习我们知道函数今天我们来学习函数y=sinx的图象及其画法。0sin00xy当时，引入由此可知，一般的描点法不容易精确画出该图象。那么，我们该用什么方法来画出正弦函数的图象呢？由于正弦线（有向线段）是正弦值的几何表示，因此可以利用正弦线画出正弦函数的图象：引入232211我们利用正弦线画出正弦函数的图象：sin,[0,2]yxxo632356764353116返回介绍新授232211sin,[0,2]yxxo632356764353116因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数的图象与函数的形状完全相同，只是位置不同，于是我们只要将函数的图象向左、向右平行移动（每次______个单位长度），就可得到正弦函数的图象sin,[2,22)yxxkksin,[0,2)yxxsin,yxxRsin,[0,2)yxx2正弦函数的图象2321sin,yxxRo322324243正弦函数的图像叫正弦曲线。那么，今后我们作正弦函数的图像，该怎么作呢？返回介绍正弦函数的图象232211o632356764353116(0,0)(,1)2(,0)3(,1)2(2,0)sin,[0,2]yxx由图可知，在函数的图像的形状可由这五点基本确定，因此我们一般先找这关键的五点，再用光滑的曲线把它们连接起来。这种方法称为“五点作图法”返回介绍正弦函数的图象下面我们利用正弦函数的图像来画余弦函数的图像：sin()cos2xx由诱导公式得：cossin(),2yxxxR函数cosyxxR余弦函数，的图像可由正弦函数sinxy=的图像向左平移___个单位而得到。2余弦函数的图象sin,yxxR2321o322324243cosyxxR余弦函数，的图像称为余弦曲线cosyxxR，余弦函数的图象232211o632356764353116(0,1)(,0)2(,1)3(,0)2(2,1)cos,[0,2]yxx由图可知，在函数的图像的形状可由这五点基本确定，这五点分别是：3(0,1)(,0),(,1),(,0),(2,1)22，2余弦函数的图象例1画出下列函数的简图：1sin,[0,2](2)cos,[0,2]yxxyxx(1)解：分析:(用五点作图法，先找关键的五点)；(1)按关键的五点列表xsinx1sinx001232210020111例题讲解232211o2(1)按关键的五点列表xsinx1sinx001232210020111(0,1)(,2)2(,1)3(,0)2(2,1)例题讲解例1画出下列函数的简图：1sin,[0,2](2)cos,[0,2]yxxyxx(1)解：分析:(用五点作图法，先找关键的五点)；(2)按关键的五点列表xcosxcosx011232201100011例题讲解(2)按关键的五点列表xcosxcosx01123220110001132221o1(0,1)(,0)2(,1)3(,0)2(2,1)例题讲解232211o2(0,1)(,2)2(,1)3(,0)2(2,1)32221o1(0,1)(,0)2(,1)3(,0)2(2,1)1sin,[0,2]yxxsin[0,2]yxx，cos,[0,2]yxxcos[0,2]yxx，课堂总结：1.sin,yxxR正弦函数的图像是一条不断重复的曲线；2.cos,sin,2yxxRyxxR余弦函数的图象可由正弦函数的图象向左平移个单位长度而得；3.322用五点作图法作正弦函数的图象，五点为：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（2，0）322用五点作图法作余弦函数的图象：（0，1），（，0），（，-1），（，0），（2，1）例题讲解LOGO第二课时三角函数的性质二、下面我们根据图像研究正弦函数、余弦函数的主要性质：sin,yxxR2321o322324243cosyxxR，1、定义域：R2、值域：由图像可知：-1≤sinx≤1,即值域是[-1,1]2x正弦函数中：当+2k，kZ时取得最大值1；2x当+2k，kZ时取得最小值-1；x余弦函数中：当2k，kZ时取得最小值1；x当（2k+1），kZ时取得最小值-1；-1≤cosx≤1.函数的性质下面我们根据图像研究正弦函数、余弦函数的主要性质：sin,yxxR2321o322324243cosyxxR，3、周期性：一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫周期函数。对于一个周期函数f(x),若在它所有周期中存在一个最小正数，则称之为f(x)的最小正周期。sin(2)sin,xkx由诱导公式：cos(2)cos,()xkxkZ由以上定义和诱导公式可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数，202kkZk（且）都是它们的周期，最小正周期是说明函数值是按照一定规律不断重复取得的;这种现象称为周期性现象。()()fxTfx可表示为函数的性质下面我们根据图像研究正弦函数、余弦函数的主要性质：sin,yxxR2321o3223242434、单调性：由正弦函数的图象及其周期性可知：sin,[2,2]()22yxxRkkkZ函数在上是增函数3[2,2]()22kkkZ在上是减函数函数值从-1增大到1；函数值从1减少到-1；函数的性质下面我们根据图像研究正弦函数、余弦函数的主要性质：sin,yxxR2321o3223242434、单调性：由余弦函数的图象及其周期性可知：cos,[(21),2]()yxxRkkkZ函数在上是增函数[2,(21)]()kkkZ在上是减函数函数值从-1增大到1；函数值从1减少到-1；cosyxxR，函数的性质下面我们根据图像研究正弦函数、余弦函数的主要性质：sin,yxxR231o3223242435、奇偶性：由正弦函数的图象可知：'sin,yxxR其上任一点P（x,y）关于原点对称的点P(-x,-y)也在函数的图象上；所以正弦曲线关于原点对称。'sin()sin,sinsin()sinxxxxxxxx可用诱导公式证明：由，得若P()在曲线上，则P(，)即(，-)也在曲线上。(,1)2(,1)2(,0)(,0)(,)xy(,)xy返回介绍函数的性质下面我们根据图像研究正弦函数、余弦函数的主要性质：sin,yxxR231o3223242435、奇偶性：()()()()fxxfxfxfx奇函数的定义：一般地，若对于函数的任一个，都有，则称为这一定义域内的sin()sinxxx例如：对于R内任一，都有，所以，正弦函数是奇函数。奇函数奇函数的图像关于原点对称。(,)xy(,)xy函数的性质下面我们根据图像研究正弦函数、余弦函数的主要性质：231o3223242435、奇偶性：cos,yxxR由余弦函数的图象可知：''cos,cos()cos,coscos()cosyxxRxxxxxxxx其上任一点P（x,y）关于y轴对称的点P(-x,y)也在函数的图象上；可用诱导公式证明：由，得若P()在曲线上，则P(，)即(，)也在曲线上。y所以余弦曲线关于轴对称。(,0)2(,0)2(,1)(,1)(,)xy(,)xy返回介绍函数的性质下面我们根据图像研究正弦函数、余弦函数的主要性质：231o3223242435、奇偶性：cos,yxxR()()()()fxxfxfxfx偶函数的定义：一般地，若对于函数的任一个，都有，则称为这一定义域内的cos()cosxxx例如：对于R内任一，都有，所以，余弦函数是偶函数。偶函数y偶函数的图像关于轴对称。(,)xy(,)xy函数的性质课堂总结：正弦函数、余弦函数的性质：1.R定义域：2.值域：[-1,1]3.2()kkZ周期性：周期：，最小正周期：2sin,[2,2])223[2,2]()22yxxRkkkZkkkZ4、单调性：函数在（上是增函数在上是减函数y课堂总结()()()()yfxfxfxfx5、奇偶性奇函数：正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称。偶函数：余弦函数是偶函数，其图像关于轴对称。cos,[(21),2]()[2,(21)]()yxxRkkkZkkkZ4、单调性：函数在上是增函数在上是减函数课堂总结课堂总结：正弦函数、余弦函数的性质：—*—作业三角函数的图象与性质习题1.41,2返回介绍谢谢观看！