1.4生活中的优化问题举例(一).ppt1

1.4生活中的优化问题举例(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的强有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．例1：汽油的使用效率何时最高?2?,1:,.vw,h/km:vL:w,的含义是什么汽油的使用效率最高汽油的消越量越大是不是汽车的速度越快思考下面两个问题根据你的生活经验的函数速度是汽车汽油的消耗量之间有一定关系单位与汽车的速度单位汽油的消耗量我们知道.,.,,,使汽油使用效率最高效率虑如何提高汽油的使用这就需要考行驶最长路程或每升汽油能够使汽车耗量最少即每千米路程的汽油消的使用效率最高我们希望汽油当汽车行驶路程一定时现实生活中.G,,.km:s,L:w,,swG,G.km/L:的最小值问题就是求量最少每千米路程的汽车消耗求这样单位程表示汽车行驶的路单位表示汽油消耗量其中那么量每千米平均的汽油消耗表示如果用程的比值油消耗量与汽车行驶路就是研究汽单位研究汽油的使用效率.,.,,;,,工具导数往往是一个有力的在这个过程中使问题得到解决提出优化方案质性再通过研究相应函数的型相应的函数模建立与其和分析并对数据进行整理统计数据大量的的途径之一是通过搜集优化问题解决.vfg14.1)h/km:(v)h/：L,(g，，,,所示的函数关系之间有如图单位行驶的平均速度与汽车单位耗量即每小时的汽油消率汽油平均消耗过程中汽车在行驶人们发现对数据进行分析、研究并通过大量的统计数据?,,呢油使用效率最高的问题解决汽中的数据信息我们如何根据这个图象那么5101530506009012oh/kmvh/Lg14.1图.,,v)h/L:,(g,.的问题解决汽油使用效率最高图象中的数据信息然后利用之间关系的问题汽车行驶的平均速度与单位油消耗量即每小时的汽消耗率油平均将问题转化为汽我们首先需要因此问题解决汽油使用效率最高从图象中我们不能直接1.41,??gfv如图函数最小值的意义是什么它是否表示在此点处汽油的使用效率最高5101530506009012oh/kmvh/Lg14.1图.t/St/WSWG因为解的问题就转化为求这样vg,?vg,.什么表示从图象上看最小值.g,vvg,24.1的直线的斜率点表示经过原点与曲线上可以看出从图,,我们可以发现继续观察图象.h/km90.,度约为在此切点处速其斜率最小当直线与曲线相切时5101530506009012oh/kmvh/Lgkm/Lvg斜率gv24.1图.L,90f,24.1,.h/km90,,,,'约为即中切线的斜率是图每千米的汽油消耗量就值上看从数此时的车速约为量最少即每千米的汽油消耗的使用效率最高要使汽油当汽车行驶距离一定时因此解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示:方法小结优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答思考1：在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？思考1：在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高602xhcm，得箱子容积23260()2xxVxxh(060)x．∴23()602xVxx(060)x令23()602xVxx＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值奎屯王新敞新疆答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3思考1：在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积2()(602)Vxxx(030)x．（后面同解法一，略）.注:由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数23260()2xxVxxh、2()(602)Vxxx在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值奎屯王新敞新疆x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060思考2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？分析:“所用材料最省”用什么量来刻划?表面积设半径为R,则高为h表面积写成R的函数,问题就转化求函数的最值问题Rh思考2:(课本习题A组第3题)圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得2VhR，则S(R)=2πR2VR+2πR2=2VR+2πR2令22()VsRR+4πR=0,解得，R=32V，从而h=2VR=23()2VV=34V=23V即h=2R∵S(R)只有一个极值，所以它是最小值奎屯王新敞新疆答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省奎屯王新敞新疆Rh变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大?Rh提示：2SRh+22R222SRhRV(R)=2222SRRR=2311(2)22SRRSRR令'()VR=026SR226222RRhRhR．作业:课本37P习题A组第1、2题回顾总结:1.利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答2.解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。