历届数学高考中的试题精选――圆锥曲线与方程

-1-历届高考中的“圆锥曲线与方程”试题精选(第一卷)一、选择题：（每小题5分，计50分）题号12345678910答案1、(2008海南、宁夏文)双曲线221102xy的焦距为（）A.32B.42C.33D.432.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆1422yx的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||2PF=（）A．23B．3C．27D．43．（2006辽宁文）方程22520xx的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线xy42交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（）（A）48.（B）56（C）64（D）72.5.(2007福建理)以双曲线116922yx的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()A.B.C.D.6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率21e，且它的一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．13422yxB．16822yxC．1222yxD．1422yx-2-7．（2005湖北文、理）双曲线)0(122mnnymx离心率为2，有一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则mn的值为（）A．163B．83C．316D．388.(2008重庆文)若双曲线2221613xyp的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为()(A)2(B)3(C)4(D)429．（2002北京文）已知椭圆1532222nymx和双曲线1322222nymx有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．yx215B．xy215C．yx43D．xy4310．（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程)0(0122222babyaxbyax与的曲线大致是()二、填空题：（每小题5分，计20分）11.（2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是0,152，则椭圆的标准方程是_________________________奎屯王新敞新疆12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线方程为33yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．13.（2007上海文）以双曲线15422yx的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．14.(2008天津理)已知圆C的圆心与抛物线xy42的焦点关于直线xy对称.直线xyxyxyxyOOOOABCD-3-0234yx与圆C相交于BA,两点，且6AB,则圆C的方程为.“圆锥曲线与方程”单元测试(第二卷)一、选择题：（每小题5分，计50分）题号12345678910答案二、填空题：（每小题5分，计20分）11._______________,12.________________,13.________________,14.________________.三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）15.（2006北京文）椭圆C:22221(0)xyabab的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且11212414,||,||.33PFFFPFPF（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于,AB两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程..16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（1）求双曲线C的方程；（2）若直线2:kxyl与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA（其中O为原点）.求k的取值范围.-4-17.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.(Ⅰ)过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足0·FBFA,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.18．(2008辽宁文)在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(03)，，(03)，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线1ykx与C交于A，B两点．k为何值时OAOB？此时AB的值是多少？-5-19.（2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？20.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。(1)求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求的值。-6-“圆锥曲线与方程”单元测试（参考答案）一、选择题：（每小题5分，计50分）题号12345678910答案DCAAAAACDA二、填空题：（每小题5分，计20分）11.1208022yx；12．223144xy．13.xy122．14.22(1)10xy.三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）15..解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以6221PFPFa，a=3.在Rt△PF1F2中，,52212221PFPFFF故椭圆的半焦距c=5,从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为4922yx＝1.(Ⅱ)解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.因为A，B关于点M对称.，所以.29491822221kkkxx解得98k，所以直线l的方程为,1)2(98xy即8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意)(Ⅱ)解法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且,1492121yx①,1492222yx②由①－②得.04))((9))((21212121yyyyxxxx③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=－4,y1+y2=2,代入③得2121xxyy＝98，即直线l的斜率为98，所以直线l的方程为y－1＝98（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)16．解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222byax).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双曲线C的方程为.1322yx（Ⅱ）将得代入13222yxkxy.0926)31(22kxxk-7-由直线l与双曲线交于不同的两点得.0)1(36)31(36)26(,0312222kkkk即.13122kk且①设),(),,(BBAAyxByxA，则22319,3126kxxkkxxBABA，,22BABAyyxxOBOA得由而2)(2)1()2)(2(2BABABABABABAxxkxxkkxkxxxyyxx.1373231262319)1(22222kkkkkkk于是解此不等式得即,01393,213732222kkkk.3312k②由①、②得.1312k故k的取值范围为).1,33()33,1(17.解：（Ⅰ）设切点,2).4,(200xyxxQ由知抛物线在Q点处的切线斜率为20x，故所求切线方程为),(240020xxxxy即.42200xxxy因为点P（0，-4）在切线上，所以.4,16,4402020xxx所以切线方程为y=±2x-4.(Ⅱ)设).,(),,(2211yxCyxA由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0.因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.点A，C的坐标满足方程组,4,12yxkxy消去y，得,0442kxx由根与系数的关系知.4,42121xxkxx).1(44)(1)()(2212212221221kxxxxkyyxxAC.111xkyBDkBDBDAC的方程，从而的斜率为，所以因为同理可求得.)1(4))41(1(4222kkBD.32)12(8)1(8212222kkkkBDACSABCD当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.18．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(03)(03)，，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b，故曲线C的方程为2214yx．-8-（Ⅱ）设1122()()AxyBxy，，，，其坐标满足22141.yxykx，消去y并整理得22(4)230kxkx，故1212222344kxxxxkk，．OAOB，即12120xxyy．而2121212()1yykxxkxx，于是222121222223324114444kkkxxyykkkk．所以12k时，12120xxyy，故OAOB．当12k时，12417xx，121217xx．2222212121()()(1)()ABxxyykxx，而22212112()()4xxxxxx23224434134171717，所以46517AB．19.解：(1)依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2代入x2－y22＝1，整理得(2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0①记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝2k(2－k)2－k2由N(1,2)是AB中点得12(x1＋x2)＝1∴k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知AB的方程为y＝x＋1.(2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0，解出x1＝－1,x2＝3，由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，代入双曲线方程，整理，得x2＋6x－11＝0②记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以x3＋x4＝－6,x3x4＝－11，从而x0＝12(x3＋x4)＝－3,y0＝3－x0＝6|CD|＝(x3－x4)2＋(y3－y4)2＝2(x3－x4)2＝2[(x3＋x4)2－4x3x4＝410∴|MC|＝|MD|＝12|CD|＝210，又|MA|＝|MB|＝(x0－x1)2＋(y0－y1)2＝4＋36＝210即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.20.（Ⅰ）解法一：设点()Pxy，，则(1)Qy，，由＝得：(10)(2)(1)(2)xyxyy，，，，，化简得2:4Cyx．（Ⅰ）解法二：由＝得：()0FQPQPF，()()0PQPFPQPF，220PQPF，PQPF．PBQMFOAxy-9-所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：24yx．（Ⅱ）设直线AB的方程为：1(0)xmym．设11()Axy，，22()Bxy，，