选修3.3.1利用导数判断函数单调性新授

利用导数判断函数的单调性（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v/.（3）．函数的商的导数（）/=(v≠0)。uv2''uvvuv（2）．函数的积的导数(uv)/＝u/v+v/u.函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.1．函数y＝x2－2x的单调递增区间是_________，单调递减区间是_________．2．函数f(x)＝sinx的导数f′(x)＝_____；在区间0，π2上，f(x)单调递____(填“增”或“减”)，f′(x)___0(填“”或“”)．[1，＋∞)(－∞，1]cosx增单调性与导数有什么关系？2yx0.......观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.奎屯王新敞新疆设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法结论：y′0增函数y′0减函数函数的单调性与导数的关系例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数21fx=x2-2x+4xOy例题讲解21fx=2x3-6x2+7xOy例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（3）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间注：单调区间不以“并集”出现。2、导数的应用：判断单调性、求单调区间∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x1x1例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.21122111xxxxxxf(x1)－f(x2)=2112xxxx∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.证法二：(用导数方法证)x121x∵f′(x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，21x∴x2＞0，∴－＜0.∴f′(x)＜0，1x∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：在区间(a，b)内，若f(x)在此区间上单调递增，则f′(x)＞0.不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说“f′(x)＞0”是“y＝f(x)在某个区间上递增”的充分不必要条件．