数学建模常见差分方程方法

指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)x(t)~时刻t的人口,人口(相对)增长率r是常数trtxtxttx)()()(0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长如何预报人口的增长今年人口x0,年增长率r基本假设:阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设)0,()(srsxrxrr~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是x的减函数mxrs0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0xmxm/2xmxtxxxemmrt()()110tx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)例：设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末共有对兔子，试建立关于的差分方程。解:因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以12121{nnnFFFFFnFnFnFnF定义为fibonacci数列。nFnF1.差分方程的解法常系数线性齐次差分方程的解法形如：11220nnnknkabababa的差分方程，称为na的k阶常系数线性齐次差分方程，其中ib为常数，，方程:0,kbnk110kkkxbxb(1)(2)称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。例:求Fibonacci数的通项:12121{nnnFFFFF解:差分方程的特征方程为：210xx特征根:12151522xx与是互异的，所以，得通解:12151522nnnFcc由初始条件121,1FF得12221215151221515122cccc联立解得:1211,55cc故11515225nnnF常系数线性非齐次差分方程的解法定义：形如1122nnnknkabababafn(1,,kbb为常数，0,0,kbfnnk的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程1122nnnknkabababafn对应的齐次差分方程为11220nnnknkabababa定理：非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解，即*nnnaaa其中*na是对应齐次差分方程的通解，na是非齐次差分方程的特解。如何求非次差分方程的特解na一般来说，差分方程的求解是困难的，实际中往往不需要求出差分方程的一般解，只需要研究它的平衡点及其稳定性即可。2.差分方程的平衡点与稳定性对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(1)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(1)的解,包含k个任意常数的解称为(1)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1)的特解.k若x0,x1,…,xk-1已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是差分方程(1)的解,即又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.一阶常系数线性差分方程xn+1+axn=b,(其中a,b为常数,且a≠-1,0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|a|＜1时,b/(a+1)是稳定的平衡点.F(n;a,a,…,a)=0,则称a是差分方程(1)的平衡点.二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时,它有一特解x*=0；当r≠0,且a+b+1≠0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形,x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.①当1,2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;②当1,2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)n;③当1,2=(cos+isin)是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知,当且仅当特征方程的任一特征根|i|＜1时,平衡点x*是稳定的.则对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程1|*)(|xf时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,x*是稳定的；当1|*)(|xf时,x*是不稳定的.当1|*)(|xf1(*)(*)(*),nnxfxxxfx例：人口问题的差分方程模型我们已经讨论了两个常微分方程模型——Malthus模型和Verhulst模型（又称Logistic模型）。前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时效果较好。离散时间的Logistic模型在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十分自然地提了出来。建立离散模型的一条直接途径是用差分代替微分。从人口问题的Logistic模型NPaPPaaPdtdP1)(aaN可导出一阶差分方程)1(1NPaPPPtttt（1）(1)式中右端的因子常被称为阻尼因子。当Pt＜＜N时，种群增长接近Malthus模型；当Pt接近N时，这一因子将越来越明显地发挥阻尼作用，若Pt＜N，它将使种群增长速度在Pt接近N时变得越来越慢，若Pt＞N，它将使种群呈负增长。)1(NPt（1）式可改写为tttPNaaPaP)1(1)1(1（2）记(1),(1)ttabaxPaN,于是(2)式又可改写为,2,1,0),()1(1txfxbxxtttt（3）虽然，（3）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其后的x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。差分方程（3）有两个平衡点，即x*=0和。类似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（时不能确定除外）。例如，对，讨论在x*处的线性近似方程bbx1*1bbx1*)(1ttxfx))((***1xxxfxxtt可知，当12)(*bxf（即31b）时平衡点bb1是稳定的，此时NxaNaPtt)1(（11*aabbxxt）若当，则平衡点是不稳定的，（这与对一切a，p*=N均为Logistic方程的稳定平衡点不同）。12bbb1建模案例：最优捕鱼策略问题简介生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益．考虑具有4个年龄组：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼．该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖．而按规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投人的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数．使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42:1．渔业上称这种方法式为固定努力量捕捞．该鱼群本身有如下数据：1.各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(l/年),其平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(单位:g);2.1龄鱼和2龄鱼不产卵,产卵期间,平均每条4龄鱼产卵量为1.109×(个)，3龄鱼为其一半；3.卵孵化的成活率为1.22×/(1.22×＋n）（n为产卵总量）；51011101110有如下问题需要解决：l）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122，29.7，10.l，3.29（×条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取作怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高．910k——单位时间4龄鱼的捕捞强度系数．基本假设（略）134(,,)XXXX2设，X——鱼群数向量．——单位时间的自然死亡率．c——年存活率，c=1-0.8＝0.2．——孵化卵成活率=1.22×1011/（1.22×1011＋n）m—4龄鱼的平均产卵量，m为1.109×（个），3龄鱼为其一半．510模型建立这里只讨论问题1），即可持续捕获策略模型．以一年为一个离散化的单位时间．记年初鱼群为1234,,,TXtXtXtXtXt下一年的鱼群数为:123411,1,1,1TXtXtXtXtXt显然，1iXt是1iXt到年底存活下来的鱼群数1,2,3,4ii当时41Xt中还包括0()Xt指上一年由卵孵化而得到1龄鱼4()Xt中存活数．据此可建立如下差分方程：1334412mXtckXtmckXt211XtcXt321XtcXt433441+XtckXtckXt因为3龄鱼与4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1，故有340.420.42kkk写成矩阵形式：1XtPXt其中000.422000000000.42mckmckcPcckck仔细考察矩阵P，当4龄鱼捕捞强度系数0.20.4760.420.42ck时，不论上一年鱼群数目如何，下一年的鱼群将出现负数．这个结论显然是荒缪的．事实上，只要3龄鱼和4龄鱼不被同时捕光，下一年4龄鱼存在存活，即鱼群数不会出现负数．造成这种现象的原因是单位时间离散化程度不够精细．假设单位时间为一个月，定义月死亡率为，月存活率（l－），月捕捞系数应为c＝0.2，从而得=0.1255．考虑一年中各月鱼群数目的分布，不难得到如下分析：为k，则年存活率12(1)一个月实际存活率：(1)k二个月实际存活率：2(1)k三个月实际存活率：3(1)k八个月实际存活率：8(1)k九个月实际存活率:8(1)(1)k——因只前八月捕捞，后四月只有自然死亡．…一年后实际存活率：84(1)(1)k同理可得第i月捕捞率：1(1),1,2,,8ikki因此可得一年后3龄鱼实际存活数：843311kX一年后4龄鱼实际存活数：844411kX该年3龄鱼总捕捞数88331333313111iikkkkXXk该年4龄鱼总捕捞数88441444414111iikkkkXXk该年3龄鱼产卵总量：833312mnkX该年4龄鱼产