常见带电体产生的场强与电势求解

学霸讲堂-大物组真空中的静电场1真空中常见带电体产生的电场强度求解1.点电荷解：020200044QqrQqqrπεπε==00rFE=r2.电偶极子一对等量异号点电荷，当l≪r时称为电偶极子。定义q=pl为电偶极矩，l的方向由负电荷指向正电荷。a)沿电偶极子y轴上一点P1，电偶极子连线上中点O到P1距离为r1(r1≫l)解：根据场强叠加原理2222011322201coscos=2cos224(())()224()4EEEElqllrrqllrαααπεπε+−+=+=⋅++=+因为r1≫l，即22211()4lrr+≈所以330101=44qlpErrπεπε=因为E,p始终反方向，所以301=4rπε−pE学霸讲堂-大物组真空中的静电场2b)沿电偶极子x轴上一点P2，电偶极子连线上中点O到P2距离为r2(r2≫l)解：根据场强叠加原理22022243302020211[]4()()222422qEEEllrrlrqqlprrrπεπεπεπε+−=−=−−+≈⋅==因为E,p始终同方向，所以302=2rπεpE3.长为L的均匀带电细棒解：设20Q,=4dqdqdydErlλλπε==，因为tan()cot2yaaπθθ=−=−所以2cotcscdyadadθθθ==2222(1cot)cscrayaaθθ=+=+=则20222002022200sin=sin4cscsinsin,4csc4cos=cos4csccoscos4csc4xydydEdEraddaadydEdEraddaaλθθπελθθλθθθπεθπελθθπελθθλθθθπεθπε==⋅===⋅=学霸讲堂-大物组真空中的静电场3积分得：211200=sin=(coscos)44xxEdEdaaθθλλθθθθπεπε=−∫∫；212100=cos=(sinsin)44yyEdEdaaθθλλθθθθπεπε=−∫∫a)有限长细棒l，求中垂线上一点场强，即θ1=θ212100(coscos)cos42xyxEEEaaλλθθθπεπε−=E=i+j=i=iib)若l为无限长，即θ1=0，θ2=π00(cos0cos)42xyxEEEaaλλππεπε−=E=i+j=i=iic)若l为半无限长（下端存在），即θ1=𝜋𝜋2，θ2=π0000==(coscos)(sinsin)424244xyEEaaaaλπλππππεπελλπεπε−−=Ei+ji+ji-j4.均匀带电细圆环轴线上一点解：取如图dq为电荷元，设204dqdrπεE=220013222222200220=cos=coscos44cos44()()4()xydqdqEEdErrqqxqxrRxRxRxθθθπεπεθπεπεπε+==⋅=+++∫∫∫Eijiii=i=iia)圆环中心处场强大小：0E=学霸讲堂-大物组真空中的静电场45.半径为R均匀带电圆盘轴线上一点解：设2202,,4dqQdqdSrdrdErRσσπσπεπ====322203022203022022202220=4()24()2()[1]2[1]2RRxEdEdqrxxrdrrxxrdrrxxRxQxRRxπεπσπεσεσεπε=+=+=+=−+=−+∫∫∫∫所以2220=[1]2QxRRxπε−+Eia)若圆盘为无限大圆盘，则3022002==22()xrdrrxσσεε∞+∫Eiib)若圆盘为有孔圆盘，则2222201211=[]2QxRRxRxπε−++Eic)若圆盘为有孔无限大圆盘，则220=2xRxσε⋅+Eid)相同均匀带电薄板间场强大小为000==22Eσσσεεε−−（）学霸讲堂-大物组真空中的静电场56.一段线密度为λ的细圆弧圆心处解：设20,,4dqdqdldEdlrdRλθπε===002000=coscos4sin2xREEdEdRRθθλθθθπελθπε−===∫∫7.圆环上有一缺口，缺口弧长为d，解：=)22QQdRRdRλππ≈−（（补偿法）设将缺口补上后圆心处场强为E1,补上部分对圆心产生场强为E2则122022300==044(2)8dEEERQdQdRdRRλπεπεππε−−=−≈−−（场强方向指向缺口）8.均匀带电球面的电场分布（Q,R）解：电场分布具有球对称性选取如图所示半径为r的球面为高斯面根据高斯定理：当rR，0=0ieqΦε=∑内;当rR，00Q=ieqΦεε=∑内所以200=Q,4rRErRrπε，。学霸讲堂-大物组真空中的静电场69.真空中均匀带电球体的电场分布（Q,R）解：电场分布具有球对称性选取如图所示半径为r的球面为高斯面根据高斯定理：24eSSdEdSErΦπ=⋅==⋅∫∫∫∫ES当r≤R，333300043=43ierqQrQRRπΦπεεε==∑内;rR，00=ieqQΦεε=∑内所以30204=,4rQrRREQrRrπεπε≤，若设3=43QRρπ，则03203=,3rrRERrRrρερε≤，10.真空中均匀带电同心球面的电场分布（1122,,)qRqR(）,(）解：电场分布具有球对称性选取半径为r的同心球面为高斯面根据高斯定理：24eSSdEdSErΦπ=⋅==⋅∫∫∫∫ES当rR1，0=0ieqΦε=∑内;当R1≤rR2，100=ieqqΦεε=∑内;当rR2，1200=ieqqqΦεε+=∑内，所以111220122200=,4,4rRqERrRrqqrRrπεπε≤+≥，。学霸讲堂-大物组真空中的静电场711.无限长均匀带电圆柱面的电场分布（λ,R）解：电场分布具有轴对称性选取如图所示半径为r，高为L的圆柱面为高斯面根据高斯定理:2eSdddEdSErLΦπ=⋅=⋅+⋅==⋅∫∫∫∫∫∫∫∫ESESES底侧侧当rR，0=0ieqΦε=∑内;当rR，00=ieqLλΦεε=∑内所以00=,2rRErRrλπε，。12.无限长均匀带电圆柱体的电场分布（λ,R）解：电场分布具有轴对称性选取如图所示半径为r，高为L的圆柱面为高斯面根据高斯定理:2eSdddEdSErLΦπ=⋅=⋅+⋅==⋅∫∫∫∫∫∫∫∫ESESES底侧侧当rR，2222000=ieqrLLrLRLRπλλΦεπεε=⋅=∑内;当rR，00=ieqLλΦεε=∑内所以2002=,2rrRRErRrλπελπε，。学霸讲堂-大物组真空中的静电场813.无限大均匀带电平面薄板（σ）解：电场分布具有面对称性选取如图所示半径为r，高为L的圆柱面为高斯面根据高斯定理:222eSddddEdSErΦπ=⋅=⋅+⋅+⋅==⋅∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ESESESES左端面右端面侧端面又200=ieqrσπΦεε=∑内所以0=2Eσε14.无限大厚度为d的均匀带电平面板场强分布（ρ）解：电场分布具有面对称性选取如图所示半径为r，长为d+x的圆柱面为高斯面，左端面固定根据高斯定理:222eSddddEdSErΦπ=⋅=⋅+⋅+⋅==⋅∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ESESESES左端面右端面侧端面当x≤d，200=ieqrxρπΦεε=∑内；xd，200=ieqrdρπΦεε=∑内所以002=,2xxdEdxdρερε，学霸讲堂-大物组真空中的静电场9常见带电体产生的电势求解1.点电荷解：已知204QErπε=，取∞→”0”20044rrrQQuEdrdrrrπεπε∞∞===∫∫2.电偶极子a)沿电偶极子y轴上一点P1，电偶极子连线上中点O到P1距离为r1(r1≫l)解：根据场强叠加原理301=4rπε−pE，取∞→”0”1111330101cos2=044rrrrpdrdudrrππεπε∞∞∞−=−=∫∫∫pr=Erb)沿电偶极子x轴上一点P2，电偶极子连线上中点O到P2距离为r2(r2≫l)解：根据场强叠加原理302=2rπεpE，取∞→”0”2222332020202cos0=224rrrrdpdrpudrrrπεπεπε∞∞∞==∫∫∫pr=Erc)电偶极子连线上中点O到任意一点P距离为r(r≫l)，取∞→”0”0020023300044cos44coscos444rrrQQuuurrrrQQlrrrpprrrrπεπεθπεπεθθπεπεπε+−+−−++−−=+=+−=⋅≈⋅⋅===pr学霸讲堂-大物组真空中的静电场103.长为L的均匀带电细棒解：a)有限长细棒l中垂线上一点电势取∞→”0”，dqdyλ=2222220022220222022044()22ln4()22()22ln4()22ln2llPQdqdyuyayalldlldllddllddλπεπελπελπελπε−=++++=+−++=++=∫∫=b)若l为无限长，周围任意一点电势，sd→取附近一点0,距离为解：任意一点场强为02Erλπε=，000ln22dPaaaddudWraλλπεπε=⋅===∫∫rEr4.均匀带电细圆环轴线上一点的电势解：取∞→”0”已知圆环轴线上任意一点场强为322204()qxERxπε=+则31222222004()4()xxxqxquEdxdxRxRxπεπε∞∞===++∫∫学霸讲堂-大物组真空中的静电场115.半径为R均匀带电圆盘轴线上一点的电势解：取∞→”0”，已知圆盘轴线上任意一点场强为2220[1]2QxERRxπε=−[phone]=[1]2[]2[]2PxxQxuEdxdxRRxQRxxRRxxπεπεσε∞∞=−+=+−=+−∫∫a)若圆盘为无限大圆盘，则取00,2sdσε→=Ei与圆盘相距为，00()=22ssPxxsxuddxσσεε−==∫∫Exb)若圆盘为有孔圆盘，则取∞→”0”，2222201211=[]2QxRRxRxπε−++Ei2222212222001211=[][]22PxxxuddxRxRxRxRxσσεε∞∞=−=+−+++∫∫Exc)若圆盘为有孔无限大圆盘，则取0,sd→与圆盘相距为，220=2xRxσε⋅+Ei22222200=)22ssPxxxuddxRsRxRxσσεε==+−++∫∫Ex（学霸讲堂-大物组真空中的静电场126.均匀带电球面的电势分布（Q,R）解：取∞→”0”，根据高斯定理：200=Q,4rRErRrπε≤，当r≤R，200044RrrrRRUEdrEdrEdrQQdrrRπεπε∞∞∞==+=+=∫∫∫∫；rR，20044rrrQUEdrdrrQrπεπε∞∞===∫∫，所以004=,4rQrRRuQrRrπεπε≤，7.真空中均匀带电球体的电势分布（Q,R）解：取∞→”0”，根据高斯定理：30204=,4rQrRREQrRrπεπε≤，当r≤R，320022044(3)8RrrrRRrRuEdrEdrEdrQrQdrdrRrQrRRπεπεπε∞∞∞==+=+=−∫∫∫∫∫，rR，20044rrrQuEdrdrrQrπεπε∞∞===∫∫，所以2200(3)8=,4rQrrRRRuQrRrπεπε−≤，学霸讲堂-大物组真空中的静电场138.真空中均匀带电同心球面的电势分布（1122,,)qRqR(）,(）解：取∞→”0”，根据高斯定理：111220122200=,4,4rRqERrRrqqrRrπεπε≤+≥，当rR1，12122121122200120120441()4RRrrrRRRRRuEdrEdrEdrEdrqqqdrdrrrqqRRπεπεπε∞∞∞==+++=++=+∫∫∫∫∫∫;当R1≤rR2，222211222001202441()4RrrrRRrRuEdrEdrEdrqqqdrdrrrqqrRπεπεπε∞∞∞==++=+=+∫∫∫∫∫;当rR2，122012041()4rrrruEdrEdrqqdrrqqrπεπε∞∞∞=