认识三角形专题

1认识三角形专题一知识点梳理：1、三角形的三边关系（1）定理：三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边。（2）三角形三边关系的作用：判断三点是否共线、判断三条线段能否构成三角形、求三角形一边的取值范围、求三角形的周长、化简代数式等及证明不等关系。2、三角形的“角平分线、中线、高”（1）角平分线：角平分线上的点到两边的距离。重要结论：a.三角形两内角角平分线所夹钝角等于90°加上不相邻的第三角的一半。如图1，∠BEC=90°+21∠A；b..三角形两外角的角平分线所夹锐角等于90°减去不相邻的第三角的一半。如图2，∠BEC=90°-21∠A；C.三角形一个内角的角平分线与一个外角的角平分线所夹锐角等于不相邻的第三角的一半。如图3，∠BEC=21∠A.图1图2图3（2）中线：三角形一边上的中线把三角形分成面积相等的两部分（等底等高的两个三角形面积相等）。（3）三角形的高：锐角△的三边高相交于三角形内一点；直角△三边高相交于直角顶点；钝角△三边高相交于三角形外一点。3、三角形的内角与外角（1）三角形得内角和等于。（2）三个推论：a.直角三角形的两个锐角互余；b.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；C.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（3）几条结论：①一个三角形最多有一个直角或钝角；②一个三角形至少有两个内角是锐角；③一个三角形至少有一个角等于或小于60°。（4）三角形的外角和等于。2题型一：三角形的三边关系例：1、下列几组线段中，不能构成三角形的是（）A.3.1，4.2，7B.2.8，14.7，18C.10，6，8D.6.8，5.3.122、等腰三角形的底边长为5㎝，一腰上的中线把原三角形的周长分成两部分，其差为3㎝，则腰长为（）A.2㎝B.8㎝C.2㎝或8㎝D.3㎝3、已知三角形的两边长分别为1、2，如果第三边的长为整数，那么第三边的长为。4、若a、b、c是三角形的三边，则化简cba-cba=。练习题：1、若a、b、c分别为三角形的三边，化简cba+acb+bac=。2、三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（）A.3x8B.5x13C.3x13D.8x133、三角形的三边长分别为8，a+2,2a,则a的取值范围是。4、若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10m22，则这样的三角形有（）个A.2个B.3个C.4个D.5个5、a、b、c是△ABC的三边，a=2，b=5，且三角形的周长为偶数。（1）求c的值；（2）判断△ABC的形状。6、已知等腰三角形中，有两边长为3和7，求此等腰三角形的底边和腰长。7、周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？3题型二、三角形内角和与外角例：1、一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，这个三角形是三角形。2、如图，∠1=25°，∠2=95°，∠3=30°，则∠4=。例2图例5图3、三角形的三个外角之比为2：3：4，则与它们相邻的内角分别为（）A.80°、120°、160°B.160°、120°、80°C.100°、60°、20°D.140°、120°、100°4、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③∠A=90°－∠B；④∠A=∠B=21∠C。能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、如图，计算∠BOC的度数。练习题：1、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定2、在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°。将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°3、如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P的度数。44、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。5、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。题型三：三角形的角平分线与角度的计算、推理例：1、如图1，已知AD⁄⁄BC，且AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA，则△ABE的形状是。图1图2图32、如图2，∠ABC的平分线交∠ACB的平分线于点I，若∠A=60°，则∠BIC=。3、如图3，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数为a、b、c、d，用仅含有两个字母的代数式表示∠P的度数。4、如图4，已知AC⁄⁄BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1=64°，则∠2=。图455、如图1，△ABC中，CD、BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线，且∠A=α。（1）用含α的代数式表示∠CDB；（2）若把图1中∠ACB的平分线CD改为∠ACB的外角的平分线（如图2），怎样用含α的代数式表示∠CDB？（3）若把图1中“CD、BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线”改成“CD、BD分别是∠ACB和∠ABC的外角的平分线”（如图3），怎样用含α的代数式表示∠CDB？FEDCBADECBADCBA图1图2图36练习题：1、如图1，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A＋∠P＝（）A.70°B.80°C.90°D.100°图1图22、如图2，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）A.∠A=∠1+∠2B.∠A=21（∠1+∠2）C.∠A=31（∠1+∠2）D.∠A=41（∠1+∠2）3、平面内的四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次连接，已知∠ABC=24°，∠ADC=42°。（1）如图1，若∠BAD与∠BCD的平分线交于点M，求∠AMC的值；（2）如图2，点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N，求∠ANC的值；（3）如图3，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，∠DAE的平分线和∠DCF的平分线交于点P，请直接写出∠APC的度数。74、（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB⁄⁄CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由。8题型四：三角形中中线及高的计算与应用例：1、如图①，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（）A.1B.2C.7D.14图①图②2、如图②，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且SABC△=4㎝2，则阴影部分的面积等于㎝2。3、如图③，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC，若∠BAE=30°，∠DAC=20°，则∠B=。图③图④4、如图④，在△ABC中，AC=8，BC=6，AD⊥BC于D，AD=5，BE⊥AC于E，则BE的长为。练习题：1、如图①，在△ABC中，BE为边AC中线，BD=2CD，且AD、BE、CF三线交于一点G，若SCDG△=4，则SABC△=。图①92、如图②，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，求四边形ADFE的面积。图②图③3、如图③，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C。（1）求∠C的度数；（2）当∠MON=α时，求∠C的度数。