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1第一章函数与极限1、理解一元函数、复合函数的定义；2、了解函数的表示和函数的简单性态—有界性、单调性、奇偶性、周期性；3、熟悉基本初等函数与初等函数（包含其定义区间、简单性态和图形）；4、理解数列极限的概念；5、了解数列极限的存在准则—单调有界准则、夹逼准则；6、理解函数的极限的定义;7、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）基本要求28、掌握两个重要极限：9、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；10、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；11、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类；12、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数性质。基本要求（续）01sinlim(1)lim1xxxxexx3一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的全体.组成集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA}{所具有的特征xxM有限集,Ma,Ma.,,的子集是就说则必若BABxAx.BA记作个体总体第一节函数4数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:.,,RQQZZN.,,相等与就称集合且若BAABBA)(BA},2,1{A例如},023{2xxxC.CA则不含任何元素的集合称为空集.)(记作例如,}01,{2xRxx规定空集为任何集合的子集.52.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab符号表示“对每(任）一个”。6}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.73.常量与变量:在某过程中始终保持一个数值的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而不断改变数值的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是变量；而在研究成人的健康状况时通常是常量．84.绝对值:00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax.xaxa或绝对值不等式:ax.baba.axa9函数概念例圆内接正多边形的周长nnrSnsin2,5,4,3n3S5S4S6S圆内接正n边形Orn10ª邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的重量W确定邮件的费用C。WW1W2WNCC1C2CNª自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻t的温度值T。tToª真空中初速为零的自由落体，下落路程S与时间t的关系为：，设这一运动花费T秒钟，则t[0,T]。221gts11因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfXx.}),({)(称为函数的值域函数值全体组成的数集XxxfyyXf数集X叫做这个函数的定义域)(xfy变量y按照一定法则总有一个确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,X是一个给定的数集，如果对于每个数xX,函数的表示法有:公式法、图像法和表格法,这三种表述各有特点并可以相互转化．例1在出生后1～6个月期间内,正常婴儿的体重近似满足以下关系:xy603.],[61x公式法注意在实际问题中,定义域是由实际问题决定的.tTo370t)(0tT例2监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的变化曲线,如下图示:例3某地区统计了某年1~12月中当地流行性出血热的发病率,见下表(月份)(‰)12345678910111216.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0ty14例1求y=arcsin的定义域和值域。x2解：120x函数的定义域为:.20:,21yx函数的值域为得定义域为x0且,2,1x解：0,2,1,0,12xkkxkxx例2求xx2arccoscoty的定义域.15(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyX)(Xf定义域和对应法则完全相同的两个函数为相同函数.21xy例如，].1,0[:)(],1,1[:XfX211xy).,1[:)(),1,1(:XfX16例3判断下列几对函数是否相等.(1)f(x)=2lnx,φ(x)=lnx2;(2)f(x)=x,φ(x)=|x|;(3)f(x)=sin2x+cos2x,φ(x)=1.解：f(x)的定义域为),0(，φ(x)的定义域为0x所以它们不相等。解：f(x)与φ(x)的对应规律不同，所以是不同的函数。解：f(x)与φ(x)的对应规律相同，定义域也相同，所以f(x)=φ(x)。171．函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)()(的减少上是单调增加在区间则称函数Ixf)()(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI例：y=[x],y=ex在（-∞,+∞)内单调增加。)(xfy)(1xf)(2xfxyoI),)()((21xfxf二、函数的特性182．函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD,)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf.)(为偶函数称xf19有对于关于原点对称设,,DxD),()(xfxf.)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy例1判断函数的奇偶性.)1ln()(2xxxfy解：))(1ln()(2xxxf)()1ln(2xfxx∴f(x)是奇函数.例2设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。证明：设显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而)()()(),()()(xfxfxhxfxfxg2)()()(xhxgxf故命题的证.213．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l2l23l23l在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的()().fxlfx且为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl恒成立,22一个周期函数有无穷多个周期，如y=sinx，±2π,±4π…均为周期。一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数都存在最小正周期.如:f(x)=c例设c0,x(-,+),f(x+c)=-f(x),证明f(x)为周期函数。证明:∵f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)∴f(x)为周期为2c的函数.事实上,对任何y(-,+)都有f(x+y)=f(x).注意23oyM-Mxy=f(x)D有界无界M-MyxoD0x,)(,,0,)(MxfDxMxfD有若的定义域是设4．函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Dxf24),)()(,,0MxfMxfDxM（有若.)(上有上（下）界在则称Dxf注：1.有界函数一定有上、下界，反之，同时有上、下界的函数才是有界的！2.有界不是绝对的，是相对于所给定的D而言的。3.有界函数的界不唯一。例y=sin2x,y=cosx在（-∞,+∞)上均为有界函数,y=x,y=x2在(-∞,+∞)上无界.25基本初等函数1.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy二初等函数262.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey273.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(284.三角函数正弦函数xysinxysino29xycosxycos余弦函数o30正切函数xytanxytano31xycot余切函数xycoto32正割函数xysecxyseco33xycsc余割函数xycsco345.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数o355.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数o36xyarccosxyarccos反余弦函数o37xyarctanxyarctan反正切函数o38常数函数，幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarco39复合函数,uy设,12xu21xy定义:设函数y=f(u),uU，函数u=(x),xX,其值域为(X)={u|u=(x),xX}U，则称函数y=f[(x)]为x的复合函数。,自变量x,中间变量u,因变量y代入法例设,)(,)(xxxgxxf12试求)]([)],([xffxgf)].([)],([xggxfg解42221xxxffxxxgf)()]([,)()]([xxxxxxxggxxxfg21111122)]([,)]([41注:不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv)coslg()(xy2113kxay212)(例将下列复合函数“分解”为简单函数)sin()(cbxay1xvvuuycos,,,lg)(2113解cbxuuay,sin)(1kxvuuayv,,)(212432.初等函数定义:由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例：不是初等函数为初等函数1sin2xeyx1xxy00xx不是初等函数nnxaxaay10为初等函数nnxaxaay10440,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.3.分段函数454.反函数0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(yx反函数o习惯上,反函数x=(y)写成y=(x)=f1(x).定义1设有函数y=f(x)(xX)，其值域Y=f(X).若对于Y中每一个y值,都可由方程f(x)=y确定唯一的x值:x=(y),称为y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),读“f逆”。46)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy47例1.,3xxy例2证明若函数y=f(x)是奇函数且存在反函数x=f1(y),则反函数也是奇函数。证明：xxy,3的反函数是).())(())(()(1111yfxxffxffyf∴反函数是奇函数。例3.0101)(2的反函数求xxxxxf解:当x0时,y1,1122yxxy当x0时,y1,x=y-1,.1,11,1,2xxxxy得反函数综上48“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1、概念的引入S=第二节极限一、极限的概念4950R正六边