求递推数列的通项公式的十一种方法

求递推数列的通项公式的十一种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法mw.w.w.k.s.5.u.c.o例1在数列{na}中，31a,)1(11nnaann，求通项公式na.解：原递推式可化为：1111nnaann则,211112aa312123aa413134aa，……，nnaann1111逐项相加得：naan111.故nan14.二、作商求和法例2设数列{na}是首项为1的正项数列，且0)1(1221nnnnaanaan（n=1,2,3…），则它的通项公式是na=▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11nnnnaanaan=0∵nnaa1＞0，11nnaann则,43,32,21342312aaaaaa……，nnaann11逐项相乘得：naan11，即na=n1.三、换元法例3已知数列{na}，其中913,3421aa，且当n≥3时，)(31211nnnnaaaa，求通项公式na（1986年高考文科第八题改编）.解：设11nnnaab，原递推式可化为：}{,3121nnnbbb是一个等比数列，9134913121aab，公比为31.故nnnnbb)31()31(91)31(2211.故nnnaa)31(1.由逐差法可得：nna)31(2123.例4已知数列{na}，其中2,121aa，且当n≥3时，1221nnnaaa，求通项公式na。解由1221nnnaaa得：1)()(211nnnnaaaa，令11nnnaab，则上式为121nnbb，因此}{nb是一个等差数列，1121aab，公差为1.故nbn.。由于112312121nnnnaaaaaaabbb又2)1(121nnbbbn所以)1(211nnan，即)2(212nnan四、积差相消法例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列0a，1a，na…，na，…满足2nnaa21nnaa=12na)2(n且110aa，求}{na的通项公式.解将递推式两边同除以21nnaa整理得：12211nnnnaaaa设nb=1nnaa，则011aab=1，121nnbb，故有1212bb⑴1223bb⑵…………121nnbb(1n)由⑴22n+⑵32n+…+(1n)02得122221nnb=12n，即1nnaa=12n.逐项相乘得：na=2)12(222)12()12(n，考虑到10a，故2222)12()12()12(1nna)1()0(nn.五、取倒数法例6已知数列{na}中，其中,11a，且当n≥2时，1211nnnaaa，求通项公式na。解将1211nnnaaa两边取倒数得：2111nnaa，这说明}1{na是一个等差数列，首项是111a，公差为2，所以122)1(11nnan，即121nan.六、取对数法例7若数列{na}中，1a=3且21nnaa（n是正整数），则它的通项公式是na=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知na＞0，将21nnaa两边取对数得nnaalg2lg1，即2lglg1nnaa，所以数列}{lgna是以1lga=3lg为首项，公比为2的等比数列，12113lg2lglgnnnaa，即123nna.七、平方（开方）法例8若数列{na}中，1a=2且213nnaa（n2），求它的通项公式是na.解将213nnaa两边平方整理得3212nnaa。数列{2na}是以21a=4为首项，3为公差的等差数列。133)1(212nnaan。因为na＞0，所以13nan。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、BAaann1（A、B为常数）型，可化为1na=A（na）的形式.例9若数列{na}中，1a=1，nS是数列{na}的前n项之和，且nnnSSS431（n1），求数列{na}的通项公式是na.解递推式nnnSSS431可变形为41311nnSS（1）设（1）式可化为)1(311nnSS（2）比较（1）式与（2）式的系数可得2，则有)21(3211nnSS。故数列{21nS}是以3211S为首项，3为公比的等比数列。21nS=nn3331。所以131nnS。当n2，1238332231231211nnnnnnnnSSa。数列{na}的通项公式是123833212nnnna)2()1(nn。2、BAaann1nC（A、B、C为常数，下同）型，可化为11nnCa=nnCaA(）的形式.例10在数列{na}中，,342,1111nnnaaa求通项公式na。解：原递推式可化为：)3(2311nnnnaa①比较系数得=-4，①式即是：)34(23411nnnnaa.则数列}34{1nna是一个等比数列，其首项534111a，公比是2.∴112534nnna即112534nnna.3、nnnaBaAa12型，可化为)()(112nnnnaaAaa的形式。例11在数列{na}中，2,121aa，当Nn，nnnaaa6512①求通项公式na.解：①式可化为：))(5(112nnnnaaaa比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：)2(32112nnnnaaaa则}2{1nnaa是一个等比数列，首项122aa=2-2（-1）=4，公比为3.∴11342nnnaa.利用上题结果有：112534nnna.4、CBnAaann1型，可化为])1([21211naAnann的形式。例12在数列{na}中，231a，12nnaa=63n①求通项公式na.解①式可化为：21121)1()(2nanann②比较系数可得：1=-6，92，②式为12nnbb}{nb是一个等比数列，首项299611nab，公比为21.∴1)21(29nnb即nnna)21(996故96)21(9nann.九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出123,,,aaa……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式na，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13在各项均为正数的数列{}na中，nS为数列{}na的前n项和，nS=1(2na+1)na，求其通项公式。求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,nnnapaqapq是常数）的数列形如112221,,(,nnnamamapaqapq是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征方程为2xpxq…①若①有二异根,，则可令1212(,nnnacccc是待定常数）若①有二重根，则可令1212()(,nnacnccc是待定常数）再利用1122,,amam可求得12,cc，进而求得na．例1．已知数列{}na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na．解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnnacc，由1122122243accacc，得12112cc，112nna．例2．已知数列{}na满足*12211,2,44()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na．解：其特征方程为2441xx，解得1212xx，令1212nnacnc，由1122121()121(2)24accacc，得1246cc，1322nnna．二、形如2nnnAaBaCaD的数列对于数列2nnnAaBaCaD，*1,(,,,amnNABCD是常数且0,0CADBC）其特征方程为AxBxCxD，变形为2()0CxDAxB…②若②有二异根,，则可令11nnnnaacaa（其中c是待定常数），代入12,aa的值可求得c值．这样数列nnaa是首项为11aa，公比为c的等比数列，于是这样可求得na．若②有二重根，则可令111nncaa（其中c是待定常数），代入12,aa的值可求得c值．这样数列1na是首项为1na，公差为c的等差数列，于是这样可求得na．此方法又称不动点法．例3．已知数列{}na满足11122,(2)21nnnaaana，求数列{}na的通项na．解：其特征方程为221xxx，化简得2220x，解得121,1xx，令111111nnnnaacaa由12,a得245a，可得13c，数列11nnaa是以111113aa为首项，以13为公比的等比数列，1111133nnnaa，3(1)3(1)nnnnna．例4．已知数列{}na满足*11212,()46nnnaaanNa，求数列{}na的通项na．解：其特征方程为2146xxx，即24410xx，解得1212xx，令1111122nncaa由12,a得2314a，求得1c，数列112na是以112152a为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552nnna，135106nnan．