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第1页（共30页）2016年7月9日数学周测试卷一、解答题（共25小题；共325分）1.如图，正方体的棱长为．（1）在图中找出平面，平面，平面的一个法向量；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出（1）中三个法向量的坐标．2.如图，在正方体中，求与平面所成角的余弦值．3.设⃗，⃗⃗分别是两条异面直线，的方向向量，且⟨⃗⃗⃗⟩，求异面直线和所成的角．4.如图，直三棱柱，，√，，点、分别为和的中点．（锥体体积公式，其中为底面面积，为高）（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．5.三棱锥中，侧面与底面垂直，．（1）求证：；（2）设√，求与平面所成角的大小．6.如图，和所在平面互相垂直，且，，，分别为，的中点．第2页（共30页）（1）求证：；（2）求二面角的正弦值7.如图，四边形为正方形，平面，，．（1）证明：平面；（2）求棱锥的体积与棱锥的体积比值．8.如图，在中，，，，两点分别在，上，使，．现将沿折成直二面角，求：（1）异面直线与的距离；（2）二面角的大小（用反三角函数表示）．9.如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．（1）证明：平面；（2）设，√，求三棱锥的体积．10.如图，正四棱锥的所有棱长均为，，，分别为棱，，的中点．第3页（共30页）（1）求证：平面，并求出直线到平面的距离；（2）求点到平面的距离．11.已知过球面上三点，，的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，．计算球的表面积与体积．12.如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，，．（1）证明：；（2）设直线与平面的距离为√，求二面角的大小．13.如图，四棱锥－的底面是平行四边形，√，，√，分别是棱的中点．（1）证明：平面；（2）若二面角为，①证明：平面平面；②求直线与平面所成角的正弦值．14.如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，√．用向量法解决下列问题：（1）若的中点为，求与所成的角；（2）求二面角（锐角）的余弦值．15.已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点．第4页（共30页）（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．16.如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（1）证明：为异面直线与的公垂线；（2）设异面直线与的夹角为，求二面角的大小．17.已知在四棱锥中，，，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若，求二面角的大小．18.如图，在直三棱柱中，，，为的中点．（1）求异面直线和的距离；（2）若，求二面角的平面角的余弦值．19.如图，在等腰梯形中，，．，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）第5页（共30页）（1）求证：（2）求直线与平面所成角的正弦值（3）侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求处的值，若不存在，说明理由．20.在正三角形中，，，分别是，，边上的点，满足（如图1）．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求二面角的余弦值．21.如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，，√．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离．22.如图，已知平面，，，，为等边三角形．第6页（共30页）（1）求证：平面平面．（2）求二面角的平面角的余弦值．23.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，底面，，为的中点，为的中点，以为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线平面；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）求点到平面的距离．24.如图，已知边长为的菱形中，，．将菱形沿对角线折起得到三棱锥，设二面角的大小为．（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．25.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，，，．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求二面角的余弦值．第7页（共30页）答案第一部分1.（1）由正方体可得平面，平面，平面的一个法向量为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，平面的一个法向量为⃗⃗⃗⃗⃗⃗；连接，，，得平面，平面的一个法向量为⃗⃗⃗⃗⃗⃗．（2）如图，建立空间直角坐标系，可得()，()，()，()．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗()．2.以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则()，()，()，设平面的法向量为⃗⃗()，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，解得⃗⃗()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，所以与平面所成角⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√√√．所以与平面所成角的余弦值是√．3.因为⟨⃗⃗⃗⟩，⟨⃗⃗⃗⟩[]，所以⟨⃗⃗⃗⟩．所以和所成的角为．4.（1）证法一：连接，，由已知，，三棱柱为直三棱柱，所以为中点．又因为为的中点，所以．又平面，平面，因此平面．证法二：取中点，连接，．因为，分别为与的中点，所以，，所以平面，平面，又，因此平面平面，而平面．因此平面．（2）解法一：连接，如图，第8页（共30页）由题意得，，所以平面．又，故解法二：5.（1）如图，取中点，连接．，．又侧面底面，底面．又，．为直角三角形．．（2）如图，取的中点，连接，则有第9页（共30页）√√(√)(√)√√√由（1）有平面，，再结合，可知平面⊥平面，又√．是等腰直角三角形，取的中点，连接，则又平面平面，且交线是，平面．即为与平面所成的角．√(√)√√，，故与平面所成的角为．6.（1）法一：如图，过作，垂足为，连，由可证出，所以，即．又，因此面，又面，所以．法二：由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．第10页（共30页）易得()(√)(√)()因而(√)(√)所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗(√√)⃗⃗⃗⃗⃗⃗()因此⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以．（2）法一：在图中，过作，垂足为，连，由平面平面，从而平面，所以．又，所以平面，从而因此为二面角的平面角；在中，可得√由知√因此从而√即二面角的正弦值为√．法二：在图中，平面的一个法向量为⃗⃗⃗⃗⃗()，设平面的法向量⃗⃗⃗⃗⃗()，又⃗⃗⃗⃗⃗⃗(√)⃗⃗⃗⃗⃗⃗(√)由{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗得其中一个第11页（共30页）⃗⃗⃗⃗⃗(√)设二面角的大小为，且由题意知为锐角，则∣∣⟨⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩∣∣∣∣∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣⃗⃗⃗⃗⃗∣∣∣∣⃗⃗⃗⃗⃗∣∣∣∣∣∣√因√√即二面角的正弦值为√．7.（1）由条件知为直角梯形．平面，平面平面，交线为．又四边形为正方形，，平面，可得．在直角梯形中可得√则．所以平面．（2）设．由题设知为棱锥的高，所以棱锥的体积由（1）知为棱锥的高，而√，的面积为√，所以棱锥的体积故棱锥的体积与棱锥的体积比值为．8.（1）如图1中，因为，所以．又因为，从而．在图2中，第12页（共30页）因是直二面角，，故底面，从而．而，故为异面直线与的公垂线．下面求之长．在图中，由得又已知，从而√√()()因，故即异面直线与的距离为．（2）方法一：在图2中，过作，交的延长线于，连接．由（1）知，底面，由三垂线定理知，故为二面角的平面角．在底面中，，所以因此从而在中，在，中第13页（共30页）因此所求二面角的大小为．方法二：如图3，由（1）知，以点为坐标原点，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗()⃗⃗⃗⃗⃗⃗()过作，交的延长线于，连接．设()，从而⃗⃗⃗⃗⃗⃗()⃗⃗⃗⃗⃗⃗()由，有⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗即又由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得联立①、②，解得即()得⃗⃗⃗⃗⃗⃗()因为第14页（共30页）⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()()()故，又因，所以为所求的二面角的平面角．因⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，有∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣√()()∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣所以∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣因此所求二面角的大小为．9.（1）连接交于，可得，又面，面，所以平面．（2）直棱柱中，面，所以，又，，所以面，所以三棱锥可以把面作为底面，高就是√，底面的面积为√√√√√，所以三棱锥的体积为√√．10.（1）因为，分别为棱，的中点，所以．又平面，平面，所以平面．如图建立空间直角坐标系，第15页（共30页）则(√)，(√)，(√)，(√)，(√√)，(√√)，(√√)．设平面的法向量为⃗⃗⃗()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗(√)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗(√√)，可得⃗⃗⃗()，所以点到平面的距离为∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣∣∣⃗⃗⃗⃗∣∣．即直线到平面的距离为．（2）因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗(√√)，所以点到平面的距离为∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣∣∣⃗⃗⃗⃗∣∣．11.如图，设球面的半径为，是的外心，外接圆半径为，则面．在中，，则√，在中，由正弦定理得，√，即√．在中，由题意得，得√．球的表面积．球的体积为(√)√．12.（1）平面，平面，故平面平面．又，所以平面．如图，连接，因为侧面为菱形，故，由平面知，而，故可得面，所以．（2）平面，平面，故平面平面．第16页（共30页）作，为垂足，则平面．又直线平面，因而为直线与平面的距离，√．因为为的角平分线，故√．作，为垂足，连接，由题可知面，所以．因此，可知面，因此，故为二面角的平面角．由√得为的中点，√所以√所以二面角的大小为√．13.（1）如图，取中点，连接，因为为中点，所以为中位线，所以且，所以四边形为平行四边形，．因为平面，平面，所以平面．（2）①连接．因为，，而为中点，故，，所以为二面角的平面角．在中，由√可解得中，由√可解得在三角形中，，，，由余弦定理，可解得第17页（共30页）√从而，即，又，，从而，因此平面．又平面，所以平面平面；②连接，由①知平面．所以为直线与平面所成的角，由√√√得为直角，而√可得√，故√．又，故在中，可得√所以，直线与平面所成角的正弦值为√．14.（1）由，的中点为，所以．如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得()，()，()，()，()，()，()，()．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()()，所以，即与所成的角为．（2）设平面与平面所成的角为，平面的法向量为⃗⃗⃗()，平面的法向量为⃗⃗()．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗()．由{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗得{解得{所以⃗⃗⃗()，同理可得⃗⃗()，设的夹角为，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣⃗⃗⃗⃗∣∣∣∣⃗⃗∣∣√√√，由图知√，所以二面角（锐角）的余弦值为√．15.（1）平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，第18页（共30页）则()，()，()，()．不妨令()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()()，即．（2）如图所示，设平面的法向量为⃗⃗()，由{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗得{令，得，所以⃗⃗()．设点坐标为()()，()，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗()．要使平面，只需⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即()，得从而满足的点即为所求．（3）平面，⃗⃗⃗⃗⃗⃗是平面的法向量，易得⃗⃗⃗⃗⃗⃗()，又平面，是与平面所成的角，得，，平面的法向量为⃗⃗()，所以⟨⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣∣∣⃗⃗∣∣√√因为所求二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为√．16.（1）法一：如图，连接，记与的交点为．第19页（共30页）因为面为正方形，故，且．又，所以，又为的中点，故，．作，为垂足，由知，为中点．又由底面面，得面．连接，则，故，易得．所以为异面直线与的公垂线．法二：以为坐标原点，射线为轴正半轴，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则()()()()又设()，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()⃗⃗⃗⃗⃗⃗()于是⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．所