初升高数学衔接教材(完整)

1第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.aaaaaa（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式①()(0)fxaa,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()afxa。②()(0)fxaa,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()fxafxa或。③22()()()()fxgxfxgx。（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1.求不等式354x的解集例2.求不等式215x的解集例3.求不等式32xx的解集例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．2例5.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．例6.已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a有解，求a的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13xx＞4+x（2）|x+1||x－2|（3）|x－1|+|2x+1|4（4）327x(5)578x3、因式分解乘法公式（1）平方差公式22()()ababab（2）完全平方公式222()2abaabb（3）立方和公式2233()()abaabbab（4）立方差公式2233()()abaabbab（5）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac（6）两数和立方公式33223()33abaababb3（7）两数差立方公式33223()33abaababb因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）2672xx（3）22()xabxyaby；（4）1xyxy．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）baba552（2）32933xxx3．公式法例3.分解因式：（1）164a（2）2223yxyx4．分组分解法例4.（1）xyxyx332（2）222456xxyyxy5．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxca就可分解为12()()axxxx.例5.把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy．4练习（1）256xx（2）21xaxa（3）21118xx（4）24129mm（5）2576xx（6）22126xxyy（7）3211262pqqp（8）22365abbaa（9）22244xx（10）1224xx（11）byaxbayx222222（12）91264422bababa(13)x2－2x－1（14）31a；（15）424139xx；（16）22222bcabacbc；（17）2235294xxyyxy第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有:（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2yaxbxc的性质1.当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，。当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba。52.当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，。当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba.3、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根。这两点间的距离2214bacABxxa.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2'当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y。例1.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13＋x23．例2.函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个例3.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时．例4.抛物线与轴交于两点和，若，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．例5.关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（）Ａ．Ｂ．且Ｃ．Ｄ．且22ymxxmmxx25mxmxm25ymxmxmxm2(21)6yxmxmx1(0)x，2(0)x，121249xxxxx22(81)8ymxmxmxm116m116m≥0m116m116m0m6Oyxx2x1Oyx(x2)x1Oyx练习1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：（1）|x1－x2|和122xx；（2）x13＋x23．2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标．3.已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且．（1）求，两点坐标；（2）求抛物线表达式及点坐标；4.若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当取时，函数值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5、已知二次函数，关于的一元二次方程的两个实根是和，则这个二次函数的解析式为第三讲一元二次不等式的解法1、定义：形如ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））的不等式做关于x的一元二次不等式。2、一元二次不等式的一般形式：ax2+bx+c＞0（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）3、一元二次不等式的解集：Δ=b2-4acΔ＞0Δ=0Δ＜0y=ax2+bx+c＞0（a＞0）的图象2(2)7(5)ykxxkx0x2yaxbxcyCx1(0)Ax，212(0)()Bxxx，M41x2x222(1)70xmxm221210xxABC2yaxcx1x2x12xxx12xxacaccc212yxbxcx2102xbxc157ax2+bx+c=0（a＞0）的根x1=242bbacax2=242bbacax1=x2=-2ba没有实数根ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集x＜x1或x＞x2（x1＜x2）x≠-2ba全体实数ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集x1＜x＜x2（x1＜x2）无解无解4、解一元二次不等式的一般步骤：（1）将原不等式化成一般形式ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））；（2）计算Δ=b2-4ac；（3）如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。例1.解下列不等式：（1）4x2-4x＞15；（2）-x2-2x+3＞0；（3）4x2-4x+1＜0例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x2+12x-12的值等于0？大于0？小于0？8例3.若关于x的方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。练习1.解下列不等式：（1）4x2-4x＜15；（2）-x2-2x+3＜0；（3）4x2-4x+1＞0（3）4x2-20x＜25；（4）-3x2+5x-4＞0；（5）x（1-x）＞x（2x-3）+1092.m是什么实数时，关于x的方程mx2-（1-m）x+m=0没有实数根？3.已知函数y=12x2－3x－34，求使函数值大于0的x的取值范围。含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.1.二次项系数含参数a（按a的符号分类）例1.解关于x的不等式：2(2)10.axax10例2.解关于x的不等式：2560(0)axaxaa2.按判别式的符号分类例3.解关于x的不等式：240.xax例4.解关于x的不等式：22(1)410.()mxxm为任意实数113.按方程20axbxc的根12,xx的大小分类。例5.解关于x的不等式：21()10(0)xaxaa例6.解关于x的不等式：22560(0)xaxaa练习1.解关于x的不等式：.0)2(2axax2.解关于x的不等式：.01)1(2xaax3.解关于x的不等式：.012axax4.解关于x的不等式：033)1(22axxa第四讲一元高次不等式及分式不等式的解法1.一元高次不等式的解法1.可解的一元高次不等式的标准形式1212()()()0(0)nxxxxxx（1）左边是关于x的一次因式的积；（2）右边是0；（3）各因式最高次项系数为正。2.一元高次不等式的解法穿根法：（1）将高次不等式变形为标准形式；（2）求根12,,,nxxx，画数轴，标出根；（3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。(4)写出所求的解集。例1.0)3)(2)(1(xxx例2.2(1)(2)(1)0xxxx例3.(1)(2)(3)0xxx13例4.2(2)(3)(21)0xxxx例5.2(1)(2)(45)0xxxx例6.322210xxx练习1.2(1)(3)(68)0xxxx2.22(328)(12)0xxxx3.22(23)(67)0xxxx4.22(45)(1)0xxxx5.23(2)(3)(6)(8)0xxxx146.43220xxx7.32330xxx2.分式不等式的解法例1.（1）303202xxxx与解集是否相同，为什么？（2）303202xxxx与解集是否相同，为什么？通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）00fxfxgxgx（2）000fxgxfxgxgx解题方法：穿根法。解题步骤：（1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。例2.解不等式：22320712xxxx