北师大版高中数学必修三1.4数据的数字特征

1.4数据的数字特征第一章统计•1知识点二第一章统计§4数据的数字特征知识点一理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三给出一组数据1、3、6、8、2、9、10、1、5问题1：该组数中出现次数最多的是哪个？问题2：将这组数据按从小到大的顺序排列，则处在中间的数是哪一个？问题3：该组数的平均数是多少？问题4：该组数据的极差是多少？提示：1.提示：5.提示：5.提示：9.1．众数的定义一组数据中重复出现次数的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是，也可是．2．中位数的定义及求法把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．最多一个多个最中间3．平均数(1)平均数的定义：如果有n个数x1、x2、…、xn，那么x＝，叫做这n个数的平均数．(2)平均数的分类：总体平均数：所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：所有个体的平均数叫样本平均数．4．极差一组数据中称为这组数据的极差.x1＋x2＋…＋xnn总体中样本中最大值与最小值的差1．一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现的次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．2．一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．1．如何理解众数、平均数、中位数的异同？(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动．(3)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．某班一学习小组的数学过关检测成绩如下：92,90,85,93,95,86,88,91问题：它的样本方差是多少？提示：10.5.1．标准差的求法标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝.2．方差的求法标准差的平方s2叫做方差．s2＝．其中，xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数．1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]3．标准差、方差的作用：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性．[例1]据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[精解详析](1)平均数是x＝1500＋4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)平均数是x′＝1500＋28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．[一点通]刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息．1．(2012·郑州高一检测)某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是()A．85、85、85B．87、85、86C．87、85、85D．87、85、90解析：由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为100＋95＋2×90＋4×85＋80＋7510＝87.答案：C2．高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人；(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么．解：(1)利用平均数计算公式x－＝148×(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)因为男同学的中位数是75，所以至少有14人得分不超过75分．又因为女同学的中位数是80，所以至少有11人得分不超过80分．所以全班至少有25人成绩在80分以下(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大.[例2]甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛，得分如下：甲队：100,97,99,96,102,103,104,101,101,100.乙队：97,97,99,95,102,100,104,104,103,102.请计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？[思路点拨]直接利用方差、标准差的公式计算，然后通过比较方差或标准差的大小得出结论．[精解详析]x－甲＝110(100＋97＋…＋100)＝100.3，x－乙＝110(97＋97＋…＋102)＝100.3，则s2甲＝110[(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2]＝5.61，s2乙＝110[(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2]＝9.21，所以甲队的标准差为s甲＝5.61≈2.37，乙队的标准差为s乙＝9.21≈3.03.由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此甲队在联赛中发挥更为稳定一些．[一点通]在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．3．(2011·江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.解析：5个数据的平均数x－＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.24．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数．甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商的交货时间短一些？哪个供货商的交货时间较具有一致性与可靠性？解：x甲＝110(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1(天)，s2甲＝110[(10－10.1)2＋(9－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2＋(11－10.1)2＋(11－10.1)2＋(9－10.1)2＋(11－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2]＝0.49；x乙＝110(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)＝10.5(天)，s2乙＝110[(8－10.5)2＋(10－10.5)2＋(14－10.5)2＋(7－10.5)2＋(10－10.5)2＋(11－10.5)2＋(10－10.5)2＋(8－10.5)2＋(15－10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05.从交货天数的平均数来看，甲供货商的供货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲供货商的交货时间较具有一致性与可靠性.[例3]样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是()A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组[精解详析]第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为63；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为253；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为22，故标准差最大的一组是第四组．[答案]D[一点通]解决此类问题，一般有两种方法：(1)由图形得到对应的样本数据，计算出平均数、方差(标准差)；(2)从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小．此点可称为方差(标准差)的几何意义．5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数x－8.68.98.98.2方差s23.53.52.15.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是()A．甲B．乙C．丙D．丁6．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x－甲，x－乙，则下列说法正确的是()甲乙982786586882913A.x－甲x－乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.x－甲x－乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.x－甲x－乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.x－甲x－乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛解析：由茎叶图可知，甲的成绩分别为72,78,79,85,86,92，乙的成绩分别为78,86,88,88,91,93，x－甲＝82，x－乙≈87，∴x－甲x－乙，又经计算得s2甲s2乙，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛．答案：D1．众数、中位数与平均数的异同：(1)众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系．(3)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时其众数往往更能反映问题．(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．统计量的性质：(1)若x1，x2，…，xn的平均数是x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.3．方差与标准差的关系：(1)方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，体现了样本数据到平均数的一种平均距离．(2)方差与原始数据单位不同，平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但实际解决问题时一般采用标准差．