北师大版高中数学必修三1.8-最小二乘估计

1.8最小二乘估计第一章统计•1在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量和年龄之间近似存在着线性关系，这种线性关系可以有多种方法来进行刻画.但是这些方法都缺少数学思想依据.问题1.用什么样的线性关系刻画会更好一些？想法：保证这条直线与所有点都接近（也就是距离最小）.最小二乘法就是基于这种想法.本节课我们来进行详细学习！1.了解最小二乘法的思想.2.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.(重点)3.会用线性回归方程对总体进行估计.(难点）思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）方法一:点到直线的距离公式方法二:12baybxdii2iibxayyiiy,xiibxa,xbxayxA0显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者之间的接近程度.思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直线y=a+bx的接近程度：255244233222211bxaybxaybxaybxaybxay提示：若有n个样本点：（x1，y1）,…,（xn，yn），可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a+bx的接近程度:2211nn[y(abx)][y(abx)]使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.…………………①先来讨论3个样本点的情况2211nn[y(abx)][y(abx)]思考3：怎样使达到最小值？利用配方法可得22221122333-2-)(-)(-)(-)aaybxybxybxybx（同样使用配方法可以得到，当从而得到直线y=ɑ+bx的系数ɑ，b，且称直线y=ɑ+bx为这3个样本点的线性回归方程.用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：niii1n22ii1xynxyxnx牢记公式特别提醒：在回归直线方程中，b是回归直线方程的斜率，a是截距；b的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数.一般地说，当回归系数b＞0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就增加b个单位；当b＜0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就减少b个单位.例1在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的.数据如下表:气温（xi）／℃261813104-1杯数（yi）／杯202434385064(1)试用最小二乘法求出线性回归方程.(2)如果某天的气温是－3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯.解：（1）由散点图可以看出，两个变量是线性相关的..648.1-557.57557.57648.1612866191031153353353353115335xyabyx于是，线性回归方程为所以由表格可得：，35115xy=33351151910633b1.64835351286633a57.557由表格得：，所以（2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是－3℃时，卖出热茶的杯数估计为：57.557-1.648×(-3)≈63(杯）.1.利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系.2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公式求出方程.3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合.【说明】例2下面是两个变量的一组数据：x12345678y1491625364964请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程.解5.25,5.4yx根据上表数据，可以计算出：其他数据如下表i111112244833992744161664552525125663636216774949343886464512合计362042041296iiyxiy2ixix，思考：哪一个对呢？y=-15+9x.所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这个规律性进行拟合.如果散点图呈现出线性关系,我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程;如果散点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利用其他的工具进行拟合.x0123y1357D1.已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点()A.（2，2）B.（1.5，0）C.（1，2）D.（1.5，4）2.(湖北高考)根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为y=bx+a,则()A.a0,b0B.a0,b0C.a0,b0D.a0,b0A3.（重庆高考）已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数335,.xy,则由该观测数据测算的线性回归方程可能是()A.0423..yxB.224.yxC.295.yxD.0344..yxA4.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（1）画出销售额和利润额的散点图.（2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的线性回归方程.商店名称ABCDE销售额（x）/千万元35679利润额（y）/百万元23345ixiyixi2xiyi132962532515363361847449285958145合计3017200112（2）数据如下表：可以求得b=0.5,a=0.4线性回归方程为：/千万元xy解：（1）0/百万元（1）散点图如图所示：2.线性回归方程的系数：1.最小二乘法的思想.一切澎湃于心，让我们真正能够在心里有所酝酿的东西，都值得我们去努力.