中科大历年考研数学真题

中科大数学专业考研真题数学分析线性代数与解析几何目录1线性代数与解析几何11.1中科大2009年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...11.2中科大2010年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...21.3中科大2011年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...41.4中科大2012年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...61.5中科大2013年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...81.6中科大2014年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...91.7中科大2015年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...101.8中科大2016年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...121.9中科大2017年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...13151.10中科大2020年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...2.数学分析162.1中科大2009年研究生入学考试试题数学分析..........162.2中科大2010年研究生入学考试试题数学分析..........172.3中科大2011年研究生入学考试试题数学分析..........182.4中科大2012年研究生入学考试试题数学分析..........192.5中科大2013年研究生入学考试试题数学分析..........212.6中科大2014年研究生入学考试试题数学分析..........232.7中科大2015年研究生入学考试试题数学分析..........252.8中科大2016年研究生入学考试试题数学分析..........262.9中科大2017年研究生入学考试试题数学分析..........272.10中科大2018年研究生入学考试试题数学分析..........292.11中科大2020年研究生入学考试试题数学分析..........30第1章线性代数与解析几何1.1中科大2009年研究生入学考试试题线性代数与解析几何1.A=0BB@0


a1.........a2n


01CCA,a2k=0;aak1=1(k=1;2;


;n);求A的Jordan标准型2.直线l1;l2:(1)证明：两直线异面；(2)求两直线的公垂线。3.向量1;2线性无关，3;4线性无关，且1正交与3;4;2正交与3;4,证明：这四个向量线性无关。4.A和B是两个不同的方阵，满足A3=B3;AB2=B2A，问A2+B2是否可逆，说明理由。5.1;


;n是V的基，对任意c1;


;cn,存在唯一的向量，使得(;i)=ci.6.3阶方阵A的特征值分别为1=2=9;3=9和1与2分别对应的特征向量为1=(1;0;1);2=(?;?;?);求矩阵A以及使A对角化的矩阵P7.A是复方阵，线性变换T!AX+XA;证明：如果A可对角化，那么T也可以对角化。8.A是复方阵，定义eA=+1∑k=0Akk!，证明：det(eA)=etr(A)1.2中科大2010年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–2–1.2中科大2010年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题1.二次曲线x24xy+y2+10x10y+21=0的类型是，通过转轴去掉其交叉项的转角角度是(只需填写一个角度即可)2.以曲线8:y=x2z=2为准线，原点为顶点的锥面方程为.3.以xOy平面上的权限f(x;y)=0绕x轴旋转所得的旋转面的方程是.如果曲线方程是x2y21=0,由此得到的曲面类型是.4.设1;234是线性空间V中4个线性无关的向量,则向量组1+2;2+3;3+4;4+1的秩等于.5.在3维实向量空间R3中，设1=(1;1;1)T;2=(1;1;0)T;3=(1;0;1)T;=(4;3;4)T,则beta在基1;2;3下的坐标是.6.设n2,则det=0BBBBB@a1+b1a2+b1


an+b1a1+b2a2+b2


an+b2.........a1+bna2+bn


an+bn1CCCCCA等于.7.设n1,矩阵A=0BBBBBBBB@0a010a11.........0an21an11CCCCCCCCA;则A的特征多项式是.8.矩阵0BB@121312+2321+122+11CCA的Smith标准型是.9.用Gram-Schmit正交化方法是将R3(标准内积)的基(1;1;1)T;(1;0;1)T;(1;2;3)T化成的标准正交基是.10.定义所有n阶实线性空间构成的实线性空间V上的对称双线性函数为f(X;Y)=tr(XTY);X;Y2V;二次型为Q(X)=f(X;X).则Q(X)的正负惯性指数分别为.二.解答题1.求如下线性方程组的通解:8:x1+x2+x3+x4+x5=13x1+2x2+x3+x43x5=2x2+2x3+2x4+6x5=55x1+4x2+3x3+3x4x5=01.2中科大2010年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–3–2.设空间上有直线l1:x13=y1=z0和l2:(x;y;z)=(3+2t;t;3t3):设平面与直线l1;l2平行，且与l1的距离是p91,求的方程。3.设A:U!V为数域F上的线性空间U到V上线性映射.证明：dimKerA+dimImA=dimU4.设A=0BB@2112211211CCA,求方阵P,使得P1AP为A的Jordan标准形。5.证明：酉矩阵的特征值模长为1。6.设V是n维欧氏空间，(?,?)为其内积，V为其对偶空间。证明：(1)对于每个给定的2V,映射f:V!R;7!(;)是V中的一个元素.(2)映射f:V!V;7!f是n维线性空间V到V的同构映射.7.设数域F上有限维空间V上线性变换A和B满足AB=aBA(a2F;a̸=1);且A是可逆线性变换，证明:(1)B为幂零矩阵(即存在正整数n,Bn=0):(2)A和B有一个公共特征向量1.3中科大2011年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–4–1.3中科大2011年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题(每小题5分)1.两个平面z=x+2y和z=2xy的夹角等于.2.点(0,2,1)到平面2x3y+6z+1的距离等于.3.二次曲面xy+z2=1的曲面类型是.4.0BB@0010111111CCA1=.5.设V是由A1=0@11111A;A2=0@21121A;A3=0@31131A生成的R22的子空间，则dimV=.6.已知实线性空间V中的向量1;2;3;4线性无关，则向量组f1+2;2+3;3+4;4+1g的秩等于.7.已知实方阵A=0BB@00a1101001CCA与B=0BB@00a20101001CCA相似，则a=.8.0BB@111121241CCA的初等因子组是.9.对R4中的向量1=(1;0;1;0);2=(0;1;1;1);3=(1;1;1;1)作Gram-Schmidt正交化和单位化，得到1;2;3,则3=.10.已知实二次型Q(x;y;z)=ax2+y2+z2+xy+yz+zx正定，则实数a的取值范围是.二.解答题1.设点A(1;1;1);B(1;1;1);C(1;1;1)求∆ABC的外接圆的方程.2.求线性方程组的通解：8:x1+x2+x3+x4+x5=13x1+2x2+x3+x43x5=2x2+2x3+2x4+6x5=55x1+4x2+3x3+3x4x5=03.设n阶复方阵A的特征值全体为1;


;n;f(x)是一个复系数多项式.求证f(A)的特征值全体为f(1);


;f(n).1.3中科大2011年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–5–4.设1;


;n是欧式空间V的任意n个向量,n1;G=0BBBBB@(1;1)(1;2)


(1;n)(2;1)(2;2)


(2;n).........(n;1)(n;2)


(n;n)1CCCCCA,其中(i;j)是V的内积.求证:G正定的充分必要条件是1;


;n线性无关。5.设A是无限维线性空间V的线性变换，B是A在ImA上的限制变换.求证：V=ImAKerA的充分必要条件是B可逆。6.已知R2的线性变换A把(1,0)映射到(0,1)，把(0，1)映射到(2,1),并且把圆C:x2+y2=1映射成椭圆E,求：(1)E的方程；(2)E的长轴所在直线的方程；(3)E的面积。1.4中科大2012年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–6–1.4中科大2012年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题(每题5分)1.在R3中，直线x=y=z与平面z=xy的夹角的余弦值等于2.在R3中,方程xyyz+zx=1所表示的二次曲面类型为.3.在R4中,设三点A;B;C的坐标分别为A(1;0;1;0);B(0;1;0;1);C(1;1;1;1),则∆ABC的面积等于.4.满足f(1)=0;f(1)=4;f(2)=3;f(3)=16的次数最小的一元多项式f(x)=:5.使线性方程组8:a2x1+x2+x3=1x1+ax2+x3=ax1+x2+x3=a2有解的实数a的取值范围是.6.已知实方阵A的伴随矩阵A=0BBBBB@21111100101010011CCCCCA，则A=.7.已知复方阵A的特征方阵IA的初等因子组为{;+1;2;2;(1)2;(1)3;}则A的最小多项式dA()=;rank(A)=;tr(A)=:8.设n⩾2,则实二次型Q(x1;


;xn)=n∑i=1x2i(n∑i=1xi)2的规范型为.二.解答题1.求R3中直线x1=y2=z3与x=2y=3z的公垂线方程。2.已知W1;W2是数域F上n维线性空间V的两个子空间.求证:dim(W1∩W2)+dim(W1+W2)=dimW1+dimW23.设A是数域F上n维线性空间V的线性变化。已知A的特征多项式ϕA()=f()
g(),其中f()g()是数域F上的两个互素的多项式。求证:(1)Imf(A)=Kerg(A)(2)V=Imf(A)Img(A)4.设Q(x)是n元实二次型，V=fx2RnjQ(x)=0g求证：f(X;Y)=tr(XTAY)是Rn上的子空间,Q(x)是半正定或半负定的.5.设R22上的线性变换A(x)=AXXA,其中A=0@11121A(1)求证:f(X;Y)=tr(XTAY)是R22上的内积(2)求ImA在f下的一组标准正交基。1.4中科大2012年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–7–6.设n⩾2,求如下n阶实方阵A=(aij)nn的Jordan标准形A=0BBBBB@O11......1...1O1CCCCCA;即aij=8:1;i+j2fn;n+1g0;i+j=2fn;n+1g1.5中科大2013年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–8–1.5中科大2013年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题(每题6分)1.两直线1x=2y=3z与x=y+2=2z+4的夹角为,距离为2.当实数a;b;c满足时，曲面z=ax2+bxy+cy2是椭圆抛物面.3.实方阵0BBBBB@10101101001100011CCCCCA的伴随方阵为,Jordan标准形为.4.设V是次数⩽3的实系数多项式f(x)全体在多项式的加法和数乘运算下构成的实数域上的线性空间.从V的基1;x1;(x1)2;(x1)3到q;x;x2;x3的过渡矩阵为.V上的线性变换A:f(x)7!xf′(x)在1;x1;(x1)2;(x1)3下的矩阵为.A的最小多项式.5.多项式矩阵0BBBBB@1111111111111CCCCCA的初等因子组为.6.