丁玉美_数字信号处理_第1章_时域离散信号和时域离散系统

第1章时域离散信号和时域离散系统1.1引言1.2时域离散信号1.3时域离散系统1.4时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程1.5模拟信号数字处理方法1.1引言信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般地把信号看作时间的函数。本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。1.2时域离散信号()(),(1.2.1)atnTaxtxnTn对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到这里n取整数。对于不同的n值，xa(nT)是一个有序的数字序列：…xa(-T)、xa(0)、xa(T)…，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)-∞＜n＜∞(1.2.2)用集合符号表示，例如x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}用公式表示用图形表示时域离散信号（序列）表示方法：1.单位采样序列δ(n)(1.2.3)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时，取值无穷大，t≠0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。1.2.1常用的典型序列0001nnn）（－101231nδ(n)δ(t)t0(a)(b)图1.2.1(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号2.单位阶跃序列u(n)u(n)=1,n≥0；u(n)=0,＜0(1.2.4)单位阶跃序列如图1.2.2所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。δ(n)与u(n)之间的关系如下式所示：δ(n)=u(n)-u(n-1)(1.2.5)(1.2.6)令n-k=m，代入上式得到0()()kunnk()()nnunm(1.2.7)u(n)01231n…图1.2.2单位阶跃序列3.矩形序列RN(n)1，0≤n≤N-10，其它n(1.2.8)上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u(n-N)(1.2.9)RN(n)=R4(n)01231n图1.2.3矩形序列4.实指数序列x(n)=anu(n)，a为实数如果|a|1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列；如|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。图1.2.4实指数序列5.正弦序列x(n)=sin(ωn)式中ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。xa(t)采样得到的，那么xa(t)=sin(Ωt)xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)x(n)=sin(ωn)因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为ω=ΩT(1.2.10)上式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：sf(1.2.11)6.复指数序列x(n)=e(σ+jω0)n式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=ejω0nx(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)由于n取整数，下面等式成立：ej(ω0+2πM)n=ejω0n,M=0,±1,±2…7.周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-∞n∞(1.2.12)则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。例如：上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，可以写成下式：()sin()4xnn()sin((8)4xnn上式表明是周期为8的周期序列，也称正弦序列，如图1.2.5所示。下面讨论一般正弦序列的周期性。设x(n)=Asin(ω0n+φ)那么x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)如果x(n+N)=x(n)sin()4n图1.2.5正弦序列则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。(1)当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ω0为周期的周期序列。例如sin(π/8)n，ω0=π/8，2π/ω0=16,该正弦序列周期为16。(2)2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。例如sin(4/5)πn，ω0=(4/5)π，2π/ω0=5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。(3)2π/ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。例如，ω0=1/4,sin(ω0n)即不是周期序列。对于复指数序列ejω0n的周期性也有同样的分析结果。以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即()()()mxnxmnm(1.2.13)式中δ(n-m)=1,n=m0，n≠m这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。例如：x(n)的波形如图1.2.6所示，可以用(1.2.13)式表示成：x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)图1.2.6用单位采样序列移位加权和表示序列1.2.2在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。1.序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图1.2.7所示。图1.2.7序列的加法和乘法2.移位、设序列x(n)用图1.2.8(a)表示，其移位序列x(n-n0)(当n0=2时)用图1.2.8(b)表示；当n00时称为x(n)的延时序列；当n00时，称为x(n)的超前序列。x(-n)则是x(n)的翻转序列，用图1.2.8(c)表示。x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。当m=2时，其波形如图1.2.8(d)所示。图1.2.8序列的移位、翻转和尺度变换1.3时域离散系统设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间关系用下式表示：y(n)=T［x(n)］(1.3.1)其框图如图1.3.1所示。图1.3.1时域离散系统y(n)x(n)][T1.3.1线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］那么线性系统一定满足下面两个公式：T［x1(n)+x2(n)］=y1(n)+y2(n)(1.3.2)T［ax1(n)］=ayy1(n)(1.3.3)满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3)式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。将以上两个公式结合起来，可表示成：y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)(1.3.4)上式中，a和b均是常数。例1.3.1证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。证明y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+by2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+by(n)=T［x1(n)+x2(n)］=ax1(n)+ax2(n)+by(n)≠y1(n)+y2(n)因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明所代表的系统是线性系统。0()()sin()4ynxnn1.3.2如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：y(n)=T［x(n)］y(n-n0)=T［x(n-n0)］(1.3.5)例1.3.2检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。解y(n)=ax(n)+by(n-n0)=ax(n-n0)+by(n-n0)=T［x(n-n0)］因此该系统是时不变系统。例1.3.3检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解y(n)=nx(n)y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0)T［x(n-n0)］=nx(n-n0)y(n-n0)≠T［x(n-n0)］因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明所代表的系统不是时不变系统。0()()sin()4ynxnn1.3.3线性时不变系统输入与输出之设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于δ(n)的零状态响应。用公式表示为h(n)=T［δ(n)］(1.3.6)h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。设系统的输入用x(n)表示，按照(1.2.13)式表示成单位采样序列移位加权和为()()()mxnxmnm()[()()]()[()()]()[()()]()()mmmynTxmnmynxmnmynTxmhnmxnhn根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质(1.3.7)式中的符号“*”代表卷积运算，(1.3.7)式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。只要知道系统的单位取样响应，按照(1.3.7)式，对于任意输入x(n)都可以求出系统的输出。下面介绍卷积运算的求解过程。按照(1.3.7)式：①将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行翻转，形成h(-m)；②将h(-m)移位n，得到h(n-m)。当n0时，序列右移；n0时，序列左移；③将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。按照以上三个步骤可得到卷积结果y(n)。例1.3.4设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解按照(1.3.7)式，上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0≤m≤3，R4(n-m)的非零值区间为：0≤n-m≤3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：44()()()mynRmRnm0≤m≤3n-3≤m≤n因此，03303,()1146,()17nmmnnynnnynn当当卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示，y(n)用公式表示为n+10≤n≤3y(n)=7-n4≤n≤60其它图1.3.2例1.3.4线性卷积R4(n)0123n0－1mR4(－m)－2－3R4(n)0123nmR4(m)0－123mR4(1－m)－2111110－123mR4(2－m)11023ny(n)1112344567卷积中主要运算是翻