丁玉美_数字信号处理_第7章_有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。1.线性相位条件对于长度为N的h(n)，传输函数为10()()()()()NjjnnjjgHehneHeHe(7.1.1)(7.1.2)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即θ(ω)=τω,τ为常数(7.1.3)如果θ(ω)满足下式：θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(7.1.4)严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即()dd第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(1)第一类线性相位条件证明：1010()()()(1)NnnNnnHzhnzHzhNnz将(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有11(1)(1)00(1)1()()()()()NNNmNmmmNHzhmzzhmzHzzHz(7.1.7)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计按照上式可以将H(z)表示为1(1)1(1)01111()222011()[()()]()[]221()[[]]2NNnNnnNNNNnnnHzHzzHzhnzzzzhnzz将z=ejω代入上式，得到：11()20101()()cos[()]21()()cos[()]21()(1)2NNjjnNgnNHeehnnNHhnnN按照(7.1.2)式，幅度函数Hg(ω)和相位函数分别为(7.1.8)(7.1.9)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(2)第二类线性相位条件证明：110011(1)(1)00(1)1()()(1)()()()()()NNnnnnNNNmNmnnNHzhnzhNnzHzhmzzhmzHzzHz(7.1.10)令m=N-n-1,则有同样可以表示为1(1)1(1)01111222011()[()()]()[]221()[]2NNnNnnNNNNnnnHzHzzHzhnzzzzhnzz第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计1120112201()()()sin[()]21()sin[()]2jNNjjzenNNjjnNHeHzjehnnNehnn因此，幅度函数和相位函数分别为101()()sin[()]21()()22NgnNHhnnNQ(7.1.11)(7.1.12)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式，幅度函数Hg(ω)为101()()cos[()]2NgnNHhnn式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(3)/20(1)/20(1)/2011()()2()cos[()]2211()()2()cos22()()cosNgnNgnNgnNNHhhnnNNHhhmnHann令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.13)1(0)()211()2(),1,2,3,,22NahNNanhnn(7.1.14)式中第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计按照(7.1.13)式，由于式中cosωn项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是偶对称的。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(ω)中没有单独项，相等的项合并成N/2项。101201()()cos[()]212()cos[()]2NgnNnNHhnnNhnn第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将(7.1.11)式重写如下：令m=N/2-n,则有/21/211()2()cos[()]221()()cos[()]2()2(),1,2,,)]22NgmNgnNHhmmHbnnNNbnhnn(7.1.15)(7.1.16)101()()sin[()]2NgnNHhnn第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：令m=(N-1)/2-n，则有(1)/21()()sin11()2(),1,2,,22NgnHcnnNNcnhnn(7.1.17)(7.1.18)1120011()()sin[()]2()sin[)]22NNgnnNNHhnnhnn令m=N/2-n,则有第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计/21/211()2()sin[()]221()()sin[()]2()2(),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHdnnNNdnhnn(7.1.19)(7.1.20)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：(1)1()()NHzzHz(7.1.21)图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有11120021122(1)00()()()()()()(1)()(1)NNNnnnNnmnNNnNmnmHzhnzhnzhnzHzhnzhNmzhnhNn令m=N-n-1,则有第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计12(1)0(1)121(1)20()()[]()()[](1)2NnNnnNNnNnnHzhnzzNHzhnzzhz(7.1.22)如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，(7.1.23)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.2第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.3第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数－1－1－1－1－1－1－1－1－1第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2利用窗函数法设计FIR滤波器设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此()()1()()2jjddnjjnddHehnehnHeed第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计相应的单位取样响应h-d(n)为,()0,jacjdceHe(7.2.1)1sin(())()2()ccjajncdnahneedna(7.2.2)为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将h-d(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，10()()NnnHzhnz图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅氏级数，即()()jjnddnHehne对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：(1()()()2jjjdNHeHeRed(7.2.4)式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即111(1)200sin(/2()()()sin(/2)NNjNjjnjnjaNNNnnNReRneeeRe(7.2.5)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计sin(/21(),sin(/2)2NNNRRN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将Ha(ejω)写成下式：()()jjaddHeHe按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为1,()0,cdcH将Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：()1()()()21()()2jjajadNjadNHeHeRedeHRd第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计将H(ejω)写成下式：()()1()()()2jjadNHeHeHHRd(7.2.6)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下两点：(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN(ω)主瓣宽度，即4π/N。(2)通带内增加了波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN(ω)可近似为sin(/2)sin()/2NNxRNx第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计下面介绍几种常用的窗函数。设h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函数。1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2.三角形窗(BartlettWindow)2