丁玉美_数字信号处理_第8章_其它类型的数字滤波器

第8章其它类型的数字滤波器第8章其它类型的数字滤波器8.1几种特殊的滤波器8.2格型滤波器8.3简单整系数数字滤波器8.4采样率转换滤波器第8章其它类型的数字滤波器8.1几种特殊的滤波器8.1.1全通滤波器如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，即|H(ejω)|=1,0≤ω≤2π(8.1.1)则该滤波器称为全通滤波器。全通滤波器的频率响应函数可表示成H(ejω)=ejφ(ω)(8.1.2)第8章其它类型的数字滤波器全通滤波器的系统函数一般形式如下式：00121201212(),11NNkkkNkkkNNNNNNazHzazzazazaaazazaz(8.1.3)或者写成二阶滤波器级联形式：211221121()1LiiiiizazaHzazaz(8.1.4)第8章其它类型的数字滤波器下面证明(8.1.3)式表示的滤波器具有全通幅频特性。10000()()()NNNkkkkNNkkNNkkkkkkazazDzHzzzDzazaz(8.1.5)式中，由于系数ak是实数，所以0()NkkkDzaz1()()()()()1()jjjzejjjDzDeDeDeHeDe第8章其它类型的数字滤波器图8.1.1全通滤波器一组=零极点示意图Im(z)zkRe(z)zk*pkpk*第8章其它类型的数字滤波器观察图8.1.1，如果将零点zk和极点p*k组成一对，将零点z*k与极点pk组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果z-1k为全通滤波器的零点，则z*k必然是全通滤波器的极点。因此，全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：111()1NkkkzzHzzz(8.1.6)第8章其它类型的数字滤波器8.1.2梳状滤波器例如，,0a1，零点为1，极点为a,所以H(z)表示一个高通滤波器。以zN代替H(z)的z，得到：111()1zHzaz1()1NNNzHzaz(8.1.7)第8章其它类型的数字滤波器图8.1.2梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性(N=8)1()1NNNzHzazIm(z)Re(z)1(a)αN1零点在单位圆上极点在半径为的圆上αN10…N2πN4πN6πN8πN10πω(b)Hk(ejω)第8章其它类型的数字滤波器8.1.3最小相位系统最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点。(1)任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成，即H(z)=Hmin(z)·Hap(z)(8.1.8)证明假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外，令该零点为z=1/z0,|z0|1,则H(z)可表示为第8章其它类型的数字滤波器111010101011010101()()()()()1()(1)1zzHzHzzzHzzzzzzzHzzzzz(8.1.9)(2)在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。高阶全通系统总可以由一阶和二阶全通系统函数相乘来表示。一阶和二阶全通系统的系统函数分别如(8.1.10)和(8.1.11)式：第8章其它类型的数字滤波器①对(8.1.10)式，1111111()1()11opopzaHzazzazaHzazaz(8.1.10)(8.1.11)其中a为实数，且|a|1；1()()()japjjjapapjzezaHzzzaeaHeHzeea第8章其它类型的数字滤波器图8.1.3一阶全通系统具有非正=相位的几何证明图z＝ejωωαaω2第8章其它类型的数字滤波器由于上式中分数部分的分子、分母是共轭的，因此相角相反，所以arg［Hap(ejω)］=ω-2arg(ejω-a)对0≤ω≤π，关于arg(ejω-a)作图如图8.1.3所示，图中α=arg(ejω-a)。;由图8.1.3可见，arg()2arg[()]0jjapeaHe第8章其它类型的数字滤波器②对(8.1.11)式，2(),1arg[()]2[arg()arg()]jjjjapjjjjjapeaeaHeeaeaeaHeeaea故画出上式中的各相角如图8.1.4所示。图中α1=arg(ejω-a)，α2=arg(ejω-a*)。由图可看出，120zaaazzz根据三角形外角大于内角的定理有1212arg[()]2[()]0japaaHeaa第8章其它类型的数字滤波器图8.1.4二阶全通系统具有非正=相位的几何证明图z＝ejωωα1aa*α1α2ωωz*＝e－jωz0第8章其它类型的数字滤波器由(8.1.8)式有minminminminminmin()()()()()()[()]()[()]()(0)()(0)apjjzzHzHzHzHeHehnIZTHzhnIZTHzHzhHzh由初值定理可得出由于11()1iapiziiizzaHzaaz第8章其它类型的数字滤波器对因果稳定系统，|ai|1,所以|h(0)||hmin(0)|(8.1.12)(8.1.12)式说明，在幅频特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统对δ(n)的响应波形延迟最小。如果定义h(n)的积累能量E(m)为2022min00()(),0()()mnmmnnEmhnmhnhn则最小相位系统的最小能量延迟可用(8.1.13)式，即。第8章其它类型的数字滤波器由于|H(ejω)|=|Hmin(ejω)|,即22min22min00()()()()jjnnHedHedhnhn由parseval定理有(3)最小相位系统保证其逆系统存在。给定一个因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)，定义其逆系统为1()()()()INVAzHzHzBz(8.1.14)第8章其它类型的数字滤波器8.2格型滤波器8.2.1全零点格型滤波器一个M阶的FIR滤波器的系统函数H(z)可写成如下形式：()01()()1MMiiiiMiiHzBzbzbz(8.2.1)其中，b(i)M表示M阶FIR滤波器的第i个系数，并假设首项系数b0=1。H(z)对应的格型结构如图8.2.1所示。第8章其它类型的数字滤波器图8.2.1全零点格型滤波器网络结构x(n)e0r0z－1k1k1r1z－1r2k2k2e2z－1rM－1z－1kM－1kM－1eM－1kMkMy(n)e1第8章其它类型的数字滤波器图8.2.2全零点格型结构=基本单元rm－1kmkmrmz－1em－1em第8章其它类型的数字滤波器下面推导由H(z)=B(z)的系数{bi}求出格型结构网络系数{ki}的逆推公式。图8.2.2所示基本格型单元的输入、输出关系如下式：em(n)=em-1(n)+rm-1(n-1)km(8.2.2a)rm(n)=em-1(n)·km+rm-1(n-1)(8.2.2b)且e0(n)=r0(n)=x(n)(8.2.2c)y(n)=em(n)(8.2.2d)第8章其它类型的数字滤波器设Bm(z),Jm(z)分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元上、下输出端em(n)、rm(n)}对应的系统函数，即()010()()/()1,1,2,,()()/(),1,2,,miimmmimmBzEzEzbzmMJzRzRzmM(8.2.3a)(8.2.3b)当m=M时，Bm(z)=B(z)。对(8.2.2)式两边进行Z变换得111111()()()()()()mmmmmmmmEzEzkzRzRzkEzzRz(8.2.4a)(8.2.4b)第8章其它类型的数字滤波器对(8.2.4a)和(8.2.4b)式分别除以E0(z)和R0(z)，再由(8.2.3a)和(8.2.3b)式有11111211()()()()1()()()()1mmmmmmmmmmmmmkzBzBzJzJzkzkBzJzkzzBzJzk(8.2.5)(8.2.6)第8章其它类型的数字滤波器由(8.2.3)式有B0(z)=J0(z)=1,所以111010111110011111()()()1()()()()()BzBzkzJzkzJzkBzzJzkzJzzBz令m=2,3,:,M，可推出1()()mmmJzzBz(8.2.7)将上式分别代入(8.2.5)和(8.2.6)式得111112()()()()()()1mmmmmmmmmmmBzBzkzBzBzkzBzBzk(8.2.8a)(8.2.8b)第8章其它类型的数字滤波器下面导出km与滤波器系数b(m)m之递推关系。将(8.2.3a)式代入(8.2.8a)及(8.2.8b)式，利用待定系数法可得到如下两组递推关系：()()()11()()()()1121mmiimimmmmmmmimiimmmmmbkbbkbkbbkbbk(8.2.9)(8.2.10)第8章其它类型的数字滤波器例8.2.1FIR滤波器由如下差分方程给定：1351()()(1)(2)(3)2483ynxnxnxnxn求其格型结构系数，并画出格型结构图。解对差分方程两边进行Z变换的H(z)=B3(z)：3()123331(1)(2)(3)333(3)331351()()1124831351,,248313iiHzBzbzzzbbbkb第8章其它类型的数字滤波器(1)(2)(1)333223(2)(1)(2)333223(2)22(1)(1)(1)222122(1)111353242481891121211414bkbbkbkbbkkbbkbbkkb第8章其它类型的数字滤波器图8.2.3H(z)的格型结构流图1/4z－11/4z－11/21/21/31/3z－1y(n)x(n)第8章其它类型的数字滤波器8.2.2全极点(IIR)格型滤波器IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。设一个全极点系统函数由下式给定：()111()()1MiiMiHzAzaz(8.2.12)图8.2.4全极点(IIR))滤波器格型结构k2y(n)x(n)eMrMeM－1z－1rM－1kM－1－kM－1z－1e1－k2r2z－1r1e0k1－k1z－1r0kM－kMe2第8章其它类型的数字滤波器例8.2.2设全极点IIR滤波器系统函数为求其格型结构网络系数，并画出格型结构。1231()135112483Hzzzz解312()31(1)(2)(3)333135()()1124813513,,,2483iiMMiBzAzzzbzMbbb由例8.2.1所求FIR格型结构网络系数：123111,,423kkk第8章其它类型的数字滤波器图8.2.5例8.2.2中的IIR格型结构z－11/4z－1－1/21/21/3z－1x(n)y(n)－1/3－1/4第8章其它类型的数字滤波器8.3简单整系数数字滤波器8.3.1建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器1.多项式拟合的基本概念设序列x(n)中的一组数据为x(i),i=-M,:,0,:,M，我们可以构造一个p阶多项式fi来拟和这一组数据x(i):20202