数学选修4-7全套教案

高三数学选修4-7第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数知识与技能：通过本节课的学习，初步了解优选法的概念，帮助学生了解优选问题的广泛存在，能正确的判断出单峰函数，能建立实际优选问题的数学模型，并寻找模型的最佳点，从数学角度加深对解决优选问题的认知.情感、态度与价值：通过本节课的学习帮助学生思考和解决一些简单的实际问题.教学过程1.有一种商品价格竞猜游戏，参与者在知道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以“高了”“低了”作为提示语，再让竞猜者继续估价，在规定的时间或次数内猜对的，即可获得这件商品.如果参加类似的游戏，每次你将怎么给出估价呢？2.蒸馒头是日常生活中常做的事情，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱.如果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放多了，蒸出的馒头就发黄且有碱味.对于一定量的面粉来说，放多少碱最合适呢？如果你没有做馒头的经验，也没有人可以请教，如何迅速地找出合适的碱量？3.一个农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件，如果可以掌握的因素是:种植密度、施化肥量、施化肥时间，如何迅速地找出高产栽培的条件？如何找出其中对玉米的产量影响比较大的因素呢？一、优选法优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.二、单峰函数..,这是一个优选问题大时炮弹的射程最远经常要考虑发射角度多在军事训练中.|,|,cos21tan,.,,),20(,,222为重力加速度其中则有如果忽略空气阻力离地面的高度为离为炮弹距发射点的水平距在时刻发射角度为设炮弹的初速度为如图gvvxvgxyyxtv.2sin,.2sin,0,02221gvgvxxy炮弹的射程为因此得令如果函数f(x)在区间[a,b]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C，而在最大值点(或最小值点)C的左侧，函数单调增加(减少)；在点C的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[a,b]上的单峰函数.例如，图中的两个函数f(x)，g(x)就是单峰函数.我们规定，区间[a,b]上的单调函数也是单峰函数.在炮弹发射试验中，除发射角外，初速度、空气阻力等也会影响炮弹的射程，我们把影响试验目标的初速度、发射角、空气阻力等称为因素.在一个试验过程中，只有（或主要有）一个因素在变化的问题，称为单因素问题.射程（目标）可以表示为发射角（因素）的函数.像这样表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数.若函数f(x)在区间[a,b]上是单峰函数,C是最佳点，如果在区间[a,b]上任取x1，x2，如果在试验中效果较好的点是x1，则必有C和x1在x2的同侧，若以x2为分界点,含x1点的区间范围是函数的一个存优范围.练习.判断下列函数在区间[－1,5]上哪些是单峰函数：(1)y＝3x2－5x＋2;(2)y＝－x2－3x＋1;(3)y＝cosx;(4)y＝ex;(5)y＝x3.课后作业1.阅读教材P.2-P.10；2.《学案》P.32-P.34.教学后记yxOvyxOyxOabCg(x)f(x)abCx1x2第一讲优选法三、黄金分割法——0.618法知识与技能：黄金分割法——0.618法是非常著名的优选法，在生产实践中有广泛应用，通过学习这一内容，不仅可以使学生学会一种用数学知识解决实际问题的方法（数学建模），了解黄金分割常数，而且还可以使学生感受数学在解决实际问题中的作用.情感、态度与价值：通过本课学习，增加学生的数学文化内涵，让学生感受到数学的美.教学过程一、黄金分割常数对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？假设因素区间为[0,1]，取两个试点102、101，那么对峰值在)101,0(中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为54的区间(图1)；但对于峰值在)1,102(的函数，只能去掉长度为101的区间(图2)，试验效率就不理想了.怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？在安排试点时，最好使两个试点关于[a,b]的中心2ba对称.为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.黄金分割常数：251，用表示.试验方法中，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法.由于215是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值0.618.相应地，也把黄金分割法叫做0.618法.二、黄金分割法——0.618法例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n次试验后的精度为原始的因素范围次试验后的存优范围nn用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n次试验后的精度为1618.0nn一般地，给定精度，为了达到这个精度，所要做的试验次数n满足,1618.01n即.0lg618.0lg)1(n所以.1618.0lglgn黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.课后作业1.阅读教材P.5-P.10；2.《学案》第一讲第三课时.教学后记第一讲优选法四、分数法知识与技能：本节结合具体问题介绍分数法，让学生认识到分数法最优性的含义，并能初步了解它的推导原理，注意斐波那契数列的表示.情感、态度与价值：通过本节内容的学习，丰富了数学内容，传播了数学文化.一、复习黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n次试验后的精度为1618.0nn二、新课案例1在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.斐波那契数列和黄金分割每个月兔子数构成的数列：.,98,55,43,12,13,8,5,3,2,1,1这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数的近似分数列.,,,138,85,53,32,211nnFF数列{Fn}为.,98,55,43,12,13,8,5,3,2,1,1案例1中，加入量大于130ml时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10F11F22F33F54F85F136F10ml，20ml;，30ml，…，120ml把试验范围分为13格，对照的渐进分数列，如果用65138FF来代替0.618，那么我们有80)0130(13801x用“加两头，减中间”的方法，508013002x在存优范围50~130ml内：继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果.优选法中，像这样用渐进分数近似代替确定试点的方法叫分数法.如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.案例2在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K，1K，1.3K，2K，3K，5K，5.5K等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：阻值(K)0.511.32355.5排列(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用85代替0.618.一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn－1).这时，前两个试点放在因素范围的nnnnFFFF21和位置上，即先在第Fn－1和Fn－2上做实验.(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn－1)，而小于(Fn+1－1).这时可以用如下方法解决.先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为(Fn－1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成Fn+1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数...328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素nnnnnnFFFFFF分数法的最优性4F5F6F502x801x130003F4F6F1003x801x130500在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从(Fn+1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从(Fn+1－1)个试点中找出最佳点.综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.课后作业1.阅读教材P.11-P.17教学后记第一讲优选法五、其他几种常用的优选法知识与技能：通过本节内容的学习，结合具体实例了解其他几种常用的优选法，对分法，盲人爬山法，分批试验法.情感、态度、价值：通过本部分的学习，可以培养学生的应用能力，同时通过例题的分析与比较，提升思维的比较迁移能力.教学过程;复习1.0.618法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n次试验后的精度为1618.0nn2.斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34,…,55,34,21,13,8,5,3,2,1,19876543210FFFFFFFFFF3.黄金分割常数的近似分数列3.分数法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的黄金分割近似分数处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.4.0.618法和分数法的区别0.618法:适合[a,b]区间上的实数试点问题分数法:适合[a,b]区间上的有限试点问题5.分数法的最优性2次试验可以最多处理2个试点问题3次试验可以最多处理4个试点问题4次试验可以最多处理7个试点问题5次试验可以最多处理12个试点问题6次试验可以最多处理20个试点问题…n次试验可以最多处理(Fn+1－1)个试点问题,,,138,85,53,32,211nnFF新课一、对分法案例1有一条10km长的输电线路出现了故障，在线路的一端A处有电，在另一端B处没有电，要迅速查出故障所在位置.0.618法和分数法都是先做两个试验，然后再通过比较，确定存优范围，不断地将试验范围缩小，最后找到最佳点.现在找输电线路故障所在位置，我们只需在AB之间的任意点C做检查，就能根据点C是否有电，判断出故障在哪一段，从而缩小故障范围，而不需要做两个试验进行比较.那么，如何选取每次的检查点才能迅速找出故障位置呢？第一个检查点C安排在线路中间，如果有电，说明故障不在AC而在CB段，接着在CB中点D检查，如果没有电，说明故障在CD部分，再在CD中点E检查，如此类推，很快就能找出故障的位置.这个方法的要点是每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，所以这种方法就称为对分法.用这种方法做试验的效果较0.618法好，每次可以去掉一半.那么是不是所有的问题都可以