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本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）【学习要求】1．进一步体会回归分析的基本思想．2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．【学法指导】两个具有相关关系的变量不一定都呈现线性相关关系，我们可以通过散点图确定回归模型，并从变换后数据的散点图、残差平方和、相关指数等方面比较模型的拟合效果．通过将非线性模型转化为线性回归模型，体会“转化”的思想，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）填一填·知识要点、记下疑难点1．如果两个变量不呈现线性相关关系，常见的两个变量间的关系还有指数关系、二次函数关系．2．两个变量间的非线性关系可以通过对解释变量的变换(对数变换、平方变换等)转化为另外两个变量的关系．3．比较不同模型的拟合效果，可以通过的大小，的大小.线性残差平方和相关指数本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效探究点一非线性回归模型问题1有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效问题2如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效例1某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05试建立y与x之间的回归方程．解根据上表中数据画出散点图如图所示．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e的周围，于是令z＝lny.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01画出散点图如图所示．由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：z^＝0.693＋0.020x，则有y^＝e0.693＋0.020x.c2x本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效小结根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1e的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．c2x本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1在彩色显影中，由经验知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝Ae(b0)表示．现测得试验数据如下：xi0.050.060.250.310.070.10yi0.100.141.001.120.230.37xi0.380.430.140.200.47yi1.191.250.590.791.29试求y对x的回归方程．bx本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效解由题给的经验公式y＝Ae，两边取自然对数，便得lny＝lnA＋bx，与线性回归方程相对照，只要取u＝1x，v＝lny，a＝lnA．就有v＝a＋bu.题给数据经变量置换u＝1x，v＝lny变成如下表所示的数据：ui20.00016.6674.0003.22614.28610.000vi－2.303－1.96600.113－1.470－0.994ui2.6322.3267.1435.0002.128vi0.1740.223－0.528－0.2360.255可得lny^＝0.548－0.146x，即y^＝e＝e0.548·e≈1.73e，这就是y对x的回归方程．bx0.548－0.146x－0.146x－0.146x本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效探究点二非线性回归分析问题1对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模型来拟合它们间的相关关系？答不一定．我们可以根据已知数据的散点图，把它与幂函数、指数函数、对数函数、二次函数图象进行比较，挑选一种拟合比较好的函数，作为回归模型．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效问题2对同一个问题建立的两种不同回归模型，怎样比较它们的拟合效果？答有两种比较方法：(1)计算残差平方和，残差平方和小的模型拟合效果好；(2)计算相关指数R2，R2越接近于1的模型拟合效果越好．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效例2为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；(3)计算相关指数．解(1)所作散点图如图所示．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1e的周围，于是令z＝lny，则x123456z1.792.483.223.894.555.25由计算器得：z^＝0.69x＋1.115，则有y^＝e0.69x＋1.115.(3)y^6.0812.1224.1748.1896.06191.52y612254995190∑ni＝1e^2i＝∑ni＝1(yi－y^i)2＝4.8161，∑ni＝1(yi－y)2＝24642.8，R2＝1－4.816124642.8≈0.9998，即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%.c2x本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效小结研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差e^1，e^2，…，e^n来判断原始数据中是否存在可疑数据，用R2来刻画模型拟合的效果．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2对两个变量x，y取得4组数据(1,1)，(2，1.2)，(3,1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y＝0.1x＋1，乙y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，丙y＝－0.8·0.5x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．解对甲模型：残差平方和∑4i＝1(yi－y^i)2＝0.0109；对乙模型：残差平方和∑4i＝1(yi－y^i)2＝0.0049；对丙模型：残差平方和∑4i＝1(yi－y^i)2＝0.0004.显然丙的残差平方和最小，故丙模型更接近于客观实际.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．散点图在回归分析中的作用是()A．查找个体个数B．比较个体数据大小关系C．探究个体分类D．粗略判断变量是否相关D本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处2．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为()A．1B．－0.5C．0D．0.5C本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处3．变量x与y之间的回归方程表示()A．x与y之间的函数关系B．x与y之间的不确定性关系C．x与y之间的真实关系形式D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合D本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）4．非线性回归分析的解题思路是______________________．练一练·当堂检测、目标达成落实处通过变量置换转化为线性回归分析本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y＝ebx＋a①函数y＝ebx＋a的图象：②处理方法：两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出b，a.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.1（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处(2)对数曲线型y＝blnx＋a①函数y＝blnx＋a的图象：②处理方法：设x′＝lnx，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.本课时栏目开关填一填研一研练一练