专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印1第一讲:函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1.下面函数与yx为同一函数的是()2.Ayx2.Byxln.xCye.lnxDye解:lnlnxyexex,且定义域,,∴选D2.已知是f的反函数,则2fx的反函数是()1.2Ayx.2Byx1.22Cyx.22Dyx解:令2,yfx反解出x:1,2xy互换x,y位置得反函数12yx,选A3.设fx在,有定义,则下列函数为奇函数的是().Ayfxfx.Byxfxfx32.Cyxfx.Dyfxfx解:32yxfx的定义域,且3232yxxfxxfxyx∴选C4.下列函数在,内无界的是()21.1Ayx.arctanByx.sincosCyxx.sinDyxx解:排除法:A21122xxxx有界,Barctan2x有界,Csincos2xx故选D5.数列nx有界是limnnx存在的()A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件解:nx收敛时,数列nx有界(即nxM),反之不成立,(如11n有界,但不收敛,选A6.当n时,21sinn与1kn为等价无穷小,则k=()A12B1C2D-2解:2211sinlimlim111nnkknnnn,2k选C二、填空题(每小题4分,共24分)7.设11fxx,则ffx的定义域为解:∵ffx111111fxx专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印2112xxx∴ffx定义域为(,2)(2,1)(1,)8.设2(2)1,fxx则(1)fx解:(1)令22,45xtfttt245fxxx(2)221(1)4(1)5610fxxxxx9.函数44loglog2yx的反函数是解:(1)4log(2)yx,反解出x:214yx(2)互换,xy位置,得反函数214xy10.lim12nnnn解:原式33lim212nnnn有理化11.若105lim1,knnen则k解:左式=5lim()510nknkneee故2k12.2352limsin53nnnn=解:当n时,2sinn~2n∴原式=2532lim53nnnn=65三、计算题(每小题8分,共64分)13.求函数21arcsin71xyx的定义域解:21113471110xxxxx或∴函数的定义域为3,1)1,414.设sin1cos2xfx求fx解:22sin2cos21sin222xxxf221f故221fxx15.设fxlnx,gx的反函数1211xgxx,求fgx专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印3解:(1)求22():1xgxyx∴反解出x:22xyyx22xyy互换,xy位置得()22gxxx(2)lnln22fgxgxxx16.判别fx2ln1xx的奇偶性。解法(1):fx的定义域,,关于原点对称2ln1xxxf2ln11xx122ln1ln()1xxxxfx2ln(1)fxxx为奇函数解法(2):fxfx22ln(1)ln1xxxx22ln(1)1ln10xxxxfxfx故fx为奇函数17.已知fx为偶函数,gx为奇函数,且11fxgxx,求fx及gx解:已知()()fxgx11x1()()1fxgxx即有1()()1fxgxx22得11211fxxx故21()1fxx2得11211gxxx故2()1xgxx18.设32lim8nnnana,求a的值。解:3323limlim1nnnnnaananalim,nnaanaee8ae故ln83ln2a19.求111lim12231nnnn解:(1)拆项,11(1)(1)kkkkkk111,2,,1knkk11112231nn1111112231nn111n(2)原式=lim11111limnnnnneen专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印420.设0,1,xfxaaa求21limln12nfffnn解:原式=122ln1limnnaaan2ln2lnln1limnaanan2ln12limnann2(1)ln2limnnnanln0,112aaa四、综合题(每小题10分,共20分)21.设fx=21xx,求3fx=fffx并讨论3fx的奇偶性与有界性。解:(1)求3fx22221112fxxxfxfxxfxx232222113fxxfxffxfxx(2)讨论3fx的奇偶性33213xfxfxx3fx为奇函数(3)讨论3fx的有界性3213313xxfxxx3fx有界22.从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗(如图),试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。解:(1)列出函数关系式,设漏斗高为h,底半径为r,依题意:漏斗容积V=213rh22,2hRrrR22222244RRrhR故2224324RVR323424R(2)函数的定义域222240,20故3224024RV五、证明题(每小题9分,共18分)23.设fx为定义在,的任意函数,证明fx可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印5证:(1)2fxfxfx2fxfx(2)令2fxfxgxx2fxfxgxgxgx为偶函数(3)令2fxfxxx2fxfxxxx为奇函数(4)综上所述:fxgx偶函数+x奇函数24设fx满足函数方程2fx+1fx=1x,证明fx为奇函数。证:(1)1121fxfxx令11,2tffttxt函数与自变量的记号无关122ffxxx(2)消去1fx,求出fx2221:4fxfxxx22223,3xxfxfxxx(3)fx的定义域,00,又223xfxfxxfx为奇函数*选做题1已知222(1)(21)126nnnn,求22233312lim12nnnnnn解:222312nnn2222233311211nnnnnn且222312limnnnn31(21)1lim36nnnnnn222312lim1nnn3(1)(21)1lim6(1)3nnnnn∴由夹逼定理知,原式132若对于任意的,xy,函数满足:专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印6fxyfxfy,证明fy为奇函数。解(1)求0f:令0,0,02000xyfff(2)令:0xyffyfyfyfyfy为奇函数第二讲:函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24分)1.下列极限正确的()A.sinlim1xxxB.sinlimsinxxxxx不存在C.1limsin1xxxD.limarctan2xx解:011sinlimsinlimxttxtxxt选C注:sin1sin10lim0;lim1sin101xxxxxABxxx2.下列极限正确的是()A.10lim0xxeB.10lim0xxeC.sec0lim(1cos)xxxeD.1lim(1)xxxe解:101lim0xxeee选A注::,:2,:1BCD3.若0limxxfx,0limxxgx,则下列正确的是()A.0limxxfxgxB.0limxxfxgxC.01lim0xxfxgxD.0lim0xxkfxk解:000limlimxxxxkkfxkfxk选D4.若02lim2xfxx,则0lim3xxfx()A.3B.13C.2D.12解:002323limlim32xttxxtfxft021211lim23323tftt选B专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印75.设1sin(0)0(0)1sin(0)xxxxfxxaxx且0limxfx存在,则a=()A.-1B.0C.1D.2解:0sinlim1,xxx01limsinxxaoax1a选C6.当0x时,11afxx是比x高阶无穷小,则()A.1aB.0aC.a为任意实数D.1a解:0011112limlim01aaxxxxaaxx故选A二、填空题(每小题4分,共24分)7.lim1xxxx解:原式lim1111lim11xxxxxeex8.2112lim11xxx解:原式112lim11xxxx111lim12xx9.3100213297lim31xxxx解:原式3972132limlim3131xxxxxx32832710.已知216lim1xxaxx存在,则a=解:1lim10xx21lim60xxax160,7aa11.1201arcsinlimsinxxxexx