中考复习专题之格点问题

中考复习专题之格点问题格点问题在近三、四年中考考题中几乎每年都会出现，从第一次出现就给人耳目一新的感觉，格点问题中的网格背景作为一个平台综合了坐标、平移、旋转、函数、三角函数、相似等多个知识点，融合了数量关系和位置关系，将初中数学中的代数和几何知识很自然的融合一体。格点问题在江西中考试题中基本是以选择题、填空题的形式出现，2006年是一道填空题，2007年是一道解答题，2008年是一道选择题。虽然格点问题在中考中所占的分值较小但“格点问题”突出了“数形结合”的数学思想方法,考查了学生对图形的观察力和对数学规律的发现探究能力及学生的创新意识、决策意识和实践能力，其涉及的知识点十分广泛,综合性很强.因此“格点问题”现已成为中考中的热点题型。现在新课程标准对学生在数学思考能力和解决问题能力等方面越来越重视。而格点问题主要考查学生的直觉推理能力和问题探究能力。并且格点问题操作性强、趣味性浓，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念。因此格点问题可以通过考试促进教师在教学过程中贯彻新课标的理念。格点问题中的常见题型：1、坐标平面内的点与有序实数对一一对应2、在网格中运用勾股定理进行计算3、网格中图形变换4、网格图形的操作方案设计问题5、分类讨论思想在格点问题中的运用6、利用格点图形探究规律1、坐标平面内的点与有序实数对一一对应【例1】如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为___________．123574689ACBDEFGHI12345678解析:该题考查对平面直角坐标系中点的坐标的认识【例2】已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A‘B’C‘与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A’的坐标为（）．A．(－4，2)B、(－4，－2)C．(4，－2)D．(4，2)．解析：该题考查轴对称的性质，两点与x、y轴和原点对称与坐标之间的关系。2、在网格中运用勾股定理进行计算．【例3】如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为_______m．（结果保留根号）ABC1m解析：推导两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算AB+BC=52【例4】（2008年江西中考题）下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（）（第7题）A．B．C．D．解析：该题考查相似三角形的判断定理，利用网格长度和勾股定理计算出各条边的长度，再利用对应边成比例达到判断相似的目的。43345354α【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是().B.C.D.．A.解析:该题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．3223510355455ABC【例6】如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高（）．B．C．D．．A．解析：该题考查三角形面积公式。首先利用网格特性计算出三角形的面积，再用勾股定理计算AC的长ABCOxy【例7】如图1，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为＿＿＿＿平方单位．解析：该题利用网格方便计算规则图形优点在图2中构造不规则三角形的外接矩形，这是计算不规则三角形面积常用的办法．图1ABCOxyDEF图2【例8】如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的()．1111A.;B.;C.;D..47822图1图2解析:该题考查相似三角形面积和对应边的比的关系，同时题目中的图2是对思维的干扰，如果直接提问“图1中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．3、网格中图形变换．【例9】在5×5方格纸中将图1中的图形N平移后的位置如图2所示，那么下面平移中正确的是（）MNA'AMNA.先向下移动1格，再向左移动1格；B.先向下移动1格，再向左移动2格；C.先向下移动2格，再向左移动1格；D.先向下移动2格，再向左移动2格．[解析]该题考查图形的平移与对应点的关系。归根到底图形的平移是对应点的平移，图形在平移的过程中对应点的连线平行且相等．图1图2【例10】如图1，点O、B的坐标分别为(0，0)、(3，0)，将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．⑴画出△OA′B′；（2）求弧BB′的长．ABOABOA'B'xy[解析]该题考查的图形的旋转和旋转的性质。如图2，点B′的位置很容易确定，点A′的位置较难确定？将OA为对角线的矩形绕O点逆时针方向旋转90°，就可以确定点A′的位置．弧BB′的长就要利用弧长公式。．图1图24、网格图形的操作方案设计问题．【例11】如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分),用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1)、(2)中画出两种不同的拼法．解析:该题一道人性化的操作型开放题，只要理解了轴对称图形的意义，选取一条适当的直线作对称轴，就可以画出符合题意的图形．【例12】（2006年江西中考题）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中画出一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边长为无理数的等腰三角形.（第9题）解析:该题画法很多，只要利用等腰三角形的轴对称性结合网格特点再考虑到题目中的条件即可。25x5x【例13】请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．图1图2图3请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．图5图4解析:该题考查学生知识变迁和理解、模仿、应用的能力。本题同时要利用方程的思想和勾股定理的知识，用代数的方法解决几何问题．．ABCDEFMNP【例14】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图1，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动（）．A.12格；B.11格；C.9格；D.8格．解析:我们可以通过勾股定理及其逆定理先判断三条线段围成的三角形是等腰直角三角形，再来确定平移的“原则”：三条线段同时平移（向目标集中），则效率最快．如图，线段AB、CD的方向没有改变，线段EF的方向只改变了1次．这是一道很好的研究性学习的题目，可以在活动中激发学生的学习兴趣和探究精神．图15、分类讨论思想在格点问题中的运用．【例15】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为()A．3个；B．4个；C．5个；D．6个．AB解析:分类讨论关键是确定分类的标准，正确解题要做到点C的个数不遗不漏？按照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时；当点C与点B在同一条直线上时．【例16】如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．C3C1C2AB解析:该题考察等腰三角形的概念，看上去很简单，但放在格点中学生很难找全所有满足条件的点。如果采用圆规动手操作会使这题变的更简单。用分类的思想分别以A、B为顶点，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C1、C2、C3．【例17】已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）解析:按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时；当∠B为公共锐角时）．PC3C2C1xyOAB6、利用格点图形探究规律．【例18】如图,在10×10的正方形网格纸中，线段AB、CD的长均等于5．则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有（）A.2个；B.3个；C.4个；D.5个．ABCDMNEFG解析:从题目的语气看，似乎要画直线AB与CD夹角的平分线，但是网格中没有画出直线AB与CD的夹角，图形的特殊性就在于AC//BD，又已知AB=CD，因此四边形ABDC是等腰梯形，线段BD的垂直平分线就是这个等腰梯形的对称轴．如图，M、N分别为BD、AC的中点，直线MN上的点到直线AB、CD的距离相等．恰好点M是格点，以MB为斜边的直角三角形的直角边长为3和1，这样，斜边在直线MN上，直角边为3和1的格点直角三角形有3个，符合题意的点有4个．选C．①③②【例19】在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是12,则第n个“L”形图形的周长是多少？解析:把图1中“L”形图形的边平移，成为图2中的形状，周长没有变化，规律尽在不言中．第n个“L”形图形的周长是4(n+1)．图1①③②图2格点问题是近几年新课程中考数学命题的热点问题，新颖的题目不断涌现，但是归根到底，中考题还是来源于课本，格点问题是课本知识的情景再现，我们一定要围绕课本开展复习．