【数学】1.2 应用举例 课件2(人教A版必修5)

第一章解三角形1.2应用举例一、基本概念解斜三角形中的有关名词、术语：（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。（2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。（3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。（5）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？2a应用举例——距离例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）二、应用举例51o75o55m解：如图，在△ABC中，B=180o-(51o+75o)=54o所以由sinsinABACCB可得sin55sin7565.7()sinsin54ACCABmB答：A,B两点间的距离约为65.7米。ABC二、应用举例ABCD解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠ADB=δαβγδa例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。)sin()sin()(180sin)sin(aaAC)sin(sin)(180sinsinaaBCcos222BCACBCACABABCD为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长的基线CD,并测得∠ACD=90o,∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.三、练习630)3075cos(2;26)7560180sin(60sin33230cos002200000BDADBDADABCDBDCDAD；（2009宁夏海南卷理）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。三、练习ABNM1122三、练习ABNM1122三、练习ABNM1122如图，一艘船从C处以30nmile/h的速度往北偏东15o的A岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶20min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。ABCD60o45o30o解：依题意可得，∠BCD=45o，∠BDA=60o，∴∠CBD=∠BDA-∠BCD=15o，13010nmile3CD10sin45sin15BD由可得20262BD又∵∠BAD=180o-60o-15o=105osin60sin105sin75ABBDBD20246262106AB化简得106nmile.答：两岛的距离为三、练习nmile/h即是：海里/每小时海里是长度单位，其单位符号为(nmile)，1nmile=1852m(只适用于航程)一海里约为3.7里。节是速度单位，单位符号为(kn)，1kn=1nmile/h=(1852/3600)m/s即:1节=1海里/1小时=0.514m/s1.分析：理解题意，画出示意图2.建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3.求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4.检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：四、小结方法：练习1.一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBnmileSABhhSBnmilehnmile解：在中，＝，，由正弦定理得设点到直线的距离为则此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．6620最大角度最大角度最大角度最大角度CAB已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。例3.如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑的最高点，试设计一种测量建筑物高度AB的方法。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得sinsinsinsin()CDADCaACCADABAEh一、例题sinAChsinsinsin()ah应用举例——高度例4.在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角=50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)解：依题意可知，在△ABC中，∠ABC=90o-，∠BAD=，∠CAD=∴∠BAC=-∵根据正弦定理，sinsinBCACBACABCsinsin(90)cossinsin()sin()BCABCBCBCACBAC一、例题ABCD''''sincossinsin()27.3cos5440sin501sin(5440501)150()CDACCADBCm答：山的高度约为150米。∵在Rt△ACD中，ABCD一、例题例5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北15o的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北30o的方向上，仰角15o，求此山的高度CD.一、例题ADCB30o15o15o分析：要测出高CD，只要测出高CD所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长，根据已知条件，可以计算出BC的长。米。答：山的高约为，根据正弦定理：－，中，解：在1047)(10478tantan)(4524.710sin15sin5sinsinsinsin101525150000000mBCDBCBCCDkmCAABBCCABABCCAABC前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题.课题导入应用举例——高度例一艘海轮从A出发，沿北偏东75o的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32o的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，则此船该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?（角度精确到0.1o，距离精确到0.01nmile）解：∵在△ABC中，∠ABC=180o-75o+32o=137o，∴根据余弦定理，22222cos67.554.0267.554.0cos137113.15ACABBCABBCABCABC75o32o例题讲解根据正弦定理,=sinCAB==≈0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmileCABBCsinABCACsinACABCBCsin15.113137sin0.54