第七章--无穷级数

2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学307第七章无穷级数【数学13AB】2008考试内容(本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删)常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在[－l，l]上的傅里叶级数函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数2008考试要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6.了觖函数项级数的收敛域及和函数的概念。7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10.掌握,sin,cos,ln(1)(1)xexxxx及的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。一、三基层面及其拓展1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1limnknkSu存在，称级数收敛。2.级数的本质：级数就是无限项求和，记为121nnnuuuu，虽然在形式上是用加法依次连成，但在意义上与有限项求和形式121mnmnuuuu完全不同。从有限到无限发生了本质的变化，如级数一般不满足结合律（可任意加括号）和交换律（可任意变换相加顺序），只有当级数收敛时才满足结合律，当级数绝对数收敛时才满足交换律。所以，无穷级数不能看成是有限项相加，121nnnuuuu只是形式上的记号而2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学308已。无穷级数的特征就是收敛性，收敛性的定义就是部分和极限存在，只有在收敛时，才能讨论无穷级数的性质。研考数学需要掌握的级数对象分为三类：常数项级数（正项、负项、交错和任意项），函数项级数（只要求掌握幂级数），傅里叶级数。研究常数项级数首先是研究正项级数（又称不变号级数，因为正项级数的全部收敛性质也代表负项级数）分为收敛和发散两种；任意项级数（又称变号级数，包含交错级数）如分为绝对收敛与发散，条件收敛与发散两组，若任意项级数1nnu收敛，1nnu发散，则称1nnu条件收敛，若1nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。任意项级数（如212nnnn）加上绝对值后就是正项级数，交错级数（如21nnn）是任意项级数的特例，故判别它们的收敛性，就必须首先考虑其绝对收敛性，这时，所有正项级数的判敛法都能使用。如果任意项级数不绝对收敛，原级数不一定发散，需要用其他方法判别，如对交错级数使用莱布尼茨定理判敛。而其它不绝对收敛的任意项级数类型一般使用拆项法或定义法，更复杂的类型不是考研数学的范畴。级数收敛时，去掉有限个项不影响其收敛性，如去掉奇次项或偶次项（无限次），则会影响收敛性，如1(1)nnan，则na收，2na发，。3.任何级数收敛的必要条件是lim0nnu这是因为部分和11limnnknknkkSuSuS11111limlimlim0nnkkknnknnkkkkkuuuSSuSSSS4．若有两个级数1nnu和1nnv，11,nnnnusv则①1()nnnuvs，11nnnnuvs。②1nnu收敛，1nnv发散，则1()nnnuv发散。2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学309③若二者都发散，则1()nnnuv不确定，如111,1kk发散，而1110k收敛。【例1】已知级数12111112,5,nnnnnnnaaa求。解：12212121111111==12558nnnnnnnnnnnnnaaaaaa5．下面三个重要结论及其证明方法具有代表性，请读者反复历练。①11()nnnaa收敛limnna存在证明：1102132112101001()()limlimlimnnninnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa收敛②正项（不变号）级数na收2na收，反之不成立，如果不是不变号级数，则无此结论。证明：2211lim01nnnnnnnnnaaaaaa收敛收敛③2na和2nb都收敛nnab收，nnabnn或收证明：2222221111111021211,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnababababababbannnn和收收收令收令收二、正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1.达朗贝尔比值法2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学31011,lim1,lim0)1,nnnnnnlullul收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2.柯西根值法1,lim1,1,nnnnlullnl收发（当为某次方时）单独讨论3.比阶法①代数式1111nnnnnnnnnnuvvuuv收敛收敛，发散发散②极限式limnnnuAv，其中：1nnu和1nnv都是正项级数。1111111111•0•0•nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAuvuvvuuvAuvukvuvAvuvuuvvu是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。是的同阶无穷小和敛散性相同。是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。●三个常用于比较判敛的参考级数：a)等比级数：0111nnararr,收敛，r发散，b)P级数：11pnn收敛，p1发散，p1c)对数级数：21lnpnnn收敛，p1发散，p1例如，级数211111ln!ln!lnlnnninnnni，故21ln!nn发散。●斯特定公式：2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学31112!2,01ln!(ln1)nnnnnnnneennn【例2】12!2limlimlim2nnnnnnnnnnnneneneennn●常用收敛快慢正整数ln(0)(1)!nnnnaann由慢到快连续型ln(0)(1)xxxxaax由慢到快例如根据上面的规律可以快速判断lim0nnnan等等。4．积分判敛法若0fx，在1,上单调递减，则1nfn与反常积分1fxdx同敛散。5．对数判敛法若11ln10ln收敛nnnnaaan。11ln10ln发散nnnnaaan。例如aln11lnlnlnlnln1lnln当时，原级数收敛。xnnaxnanxxxennbln1lnlnlnln1lnlnln21nnnannnnnn，原级数发散。陈氏第17技大收小收，小发大发，同阶同敛散。只有大收小发情形下，比较法才可判敛。●判别正项级数收敛的一般思路：先看lim0nnu是否成立，如不成立，则发散，如收敛，则根据级数通项的特点考虑比值法或根值法，如果比值法或根值法的极限不易求出或等于1，则使用比较法或其极限形式。●比阶法的极限形式是核心方法，必须熟谙陈氏第17技，否则读者在做题时会糊涂。比较法中最常用的技巧是找到合适的基准级数，主要技巧有3：对原级数通项放缩（如算术平均2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学312几何平均等常用不等式）、利用等价无穷小及利用佩亚若余项泰勒展开。●凡是由达朗贝尔比值法给出的收敛性结论，由柯西根值法必可以给出相同的结论；反之却不一定。【例3】设0na，na单调递减，11nnna发散，试证明：111nnna收敛。证明：因为0na，na单调递减，则limnna必存在，设limnnaA，由于11nnna发散，可推出0lim00nannaAA（否则，由莱布尼茨定理判定11nnna必收敛。）又，lim0,0,nnnnaAaNnNaA单调递减使当时，有，11110111111nnnnnnnnaAaA为正项级数并收敛收敛【例4】若12sinlim1nnnnna，则级数1nna是否收敛。解：12sin12sin1nnnnnnnanan，即na与12sinnnn为等价无穷小。但n充分大时，由于211n，则1sin31142sin32221110,原级数收敛。nnnnnnnn【例5】讨论1ln1nnpnn的收敛性。解：323212lnlnlnlnln1ln11~pnopnpnnonpnnnnnpnnppnaeenenn显然1p收敛。1p发散2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学313【例6】讨论级数1212nnn的收敛性。解：根据达朗贝尔比值法，有111212121limlim222121nnnnnnnn极限不存在，无法判断收敛性；根据柯西根值法，有112111limlim21,222nnnnnnn原级数收敛。【例7】R，试讨论级数的敛散性1cosnnn。解：111111coscos1coscos1limcoscos121cos1coscos121nnnnnnnnnnnnknnknnnknn时，绝对收敛；时，发散；时，条件收敛【例8】判别（1）514lnnnn和（2）11cosnn的敛散性。解：(1)514lnnnn5415441lnlnln1limlim