研目标规划

目标规划(Goalprogramming)目标规划的数学模型目标规划的图解法目标规划的单纯形法目标规划概述导入案例——产品组合问题产品I产品II设备A设备B设备C240205121615单位利润23•现增加如下考虑：•（1）力求使利润指标不低于15元；•（2）据市场预测，I、II两种产品需求量的比例大致是1:2；•（3）A为贵重设备，严格禁止超时使用；•（4）设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上设备B是C的3倍。•综合考虑上述因素，企业应如何决策？这里本章所要讨论的问题。12121212max232212416.512,0zxxxxxstxxx最优解：x1=3x2=3z=15若仅考虑利润目标，其LP模型为：目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标函数转化为目标约束。目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。实现值或决策值：是指当决策变量xj选定以后，目标函数的对应值。偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值和目标值之间的差异,记为d。正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为d＋。负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为d－。1、目标值和偏差变量当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0,d－＝0当未完成规定的指标则表示：d＋＝0,d－≥0当恰好完成指标时则表示：d＋＝0,d－＝0∴d＋×d－＝0成立。引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题有了新的限制，既目标约束。目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到目标值，故有d＋×d－＝0,并规定d＋≥0,d－≥02、目标约束和绝对约束绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。•目标规划处理问题的方法是将多目标转化为多个目标约束。如目标利润的约束：甲产品单位利润2元，乙产品单位利润3元，目标要求利润不小于15元，即有目标约束不等式：•添加正负偏差变量，将其变为等式：•当时，表明，达到了目标；•当时，表明，未达到目标，此种情况一但发生，希望越小越好，即目标要求为：d122315xx12112315xxdd122315xx110,0dd122315xx110,0dd1mind122212xx•同理有其他目标约束：•产品比例•设备B利用与加班•设备C的加班d1220xx12222220min()xxdddd2416x13333416min()xdddd2515x2444515minxddd达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为minZ=f（d＋、d－）。一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一：⑴.要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽可能小，则minZ=f（d＋＋d－）。⑵.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正偏差变量尽可能小，则minZ=f（d＋）。⑶.要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值，也就是负偏差变量尽可能小，则minZ=f（d－）。对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即可。3、达成函数（即目标规划中的目标函数）优先因子Pk是将决策目标按其重要程度排序并表示出来。P1P2…PkPk+1…PK，k=1.2…K。权系数ωk区别具有相同优先因子的两个目标的差别，决策者可视具体情况而定。对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。4、优先因子（优先等级）与优先权系数5、满意解（具有层次意义的解）4333322211)(3)(mindPddPddPdPz导入案例——产品组合问题产品I产品II设备A设备B设备C240205121615单位利润23•现增加如下考虑：•（1）力求使利润指标不低于15元；•（2）据市场预测，I、II两种产品需求量的比例大致是1:2；•（3）A为贵重设备，严格禁止超时使用；•（4）设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上设备B是C的3倍。•综合考虑上述因素，企业应如何决策？这里本章所要讨论的问题。12121212max232212416.512,0zxxxxxstxxx最优解：x1=3x2=3z=15若仅考虑利润目标，其LP模型为：•将上述目标规划的目标约束、目标函数再加上系统约束和变量非负约束，即构成了引例中的目标规划数学模型如下：4333322211)(3)(mindPddPddPdPz1212111222133244122212231520..416512,,,0(1,2,3,4)jjxxxxddxxddstxddxddxxddj系统约束目标约束变量非负约束目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。2、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。目标规划概述（一）、目标规划与线性规划的比较4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中，只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束；而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。目前，已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。目标规划的数学模型•目标规划数学模型的一般形式：min()()iiiiifdPwdwd11(1,,).()(1,,)0(1,,),,0(1,,)nijjiiijnijjijjiicxddgimstaxbilxjnddim优先因子正偏差权系数负偏差权系数目标约束系统约束变量非负建模的步骤1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目标约束与绝对约束；klkl和4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的不同，赋予相应的权系数。3、给各目标赋予相应的优先因子Pk（k=1.2…K）。2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可。5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。llddldld⑴.恰好达到目标值，取。⑵.允许超过目标值，取。⑶.不允许超过目标值，取。例、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。试建立此问题的数学模型。12070单件利润3000103设备台时200054煤炭360049钢材资源限制乙甲单位产品资源消耗另外提出下列要求：1、完成或超额完成利润指标50000元；2、产品甲不超过200件，产品乙不低于250件；3、现有钢材3600吨必须用完。试建立目标规划模型。分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。第一目标：第二目标：有两个要求即甲，乙，但两个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题可用单件利润比作为权系数即70:120，化简为7:12。11dP32dd)127(322ddP第三目标：)(443ddP)4.3.2.1(0.,030001032000543600492502005000012070)()127(min2121214421332221112144332211jddxxxxxddxxddxddxddxxddPddPdPZjj目标规划模型为：某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的生产方案？ⅠⅡ拥有量原材料2111设备(台时)1210单件利润810在此基础上考虑：1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；2、充分利用设备有效台时，不加班；3、利润不小于56元。解:分析第一目标：即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。第二目标：11dP)(222ddP例三：第三目标：33dP规划模型：)3.2.1(0.,0112561081020)(min21213321222111213322211jddxxxddxxddxxddxxdPddPdPZjj（三）、小结线性规划LP目标规划GP目标函数min,max系数可正负min,偏差变量系数≥0变量xi,xsxaxixsxad约束条件系统约束（绝对约束）目标约束系统约束解最优最满意图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。图解法解题步骤如下：1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量）在坐标平面上表示出来；2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向；三、目标规划的图解法3、求满足最高优先等级目标的解；4、转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解；5、重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止；6、确定最优解和满意解。例一、用图解法求解目标规划问题)2.1(0,0821025.621210)(min21212221112122111lddxxxddxxddxxdPddPZll012345678123456⑴⑵⑶Ax2x1B1d1d2d2dCB(0.6250,4.6875)C(0,5.2083)，B、C线段上的所有点均是该问题的解（无穷多最优解）。)2.1(0,0821025.621210)(min21212221112122111lddxxxddxxddxxdPddPZll图解法1122233334121211122213324412min()3()2212231520..416515,,,0(1,2,3,4)jjzPdPddPddPdxxxxddxxddstxddxddxxddj≤≥x1x2o662x1+2x2=122x1+3x2=1511dd7.552x1-x2=022dd4x1=1633dd5x2=1544dd（1）绘出直角坐标（2）图示系统约束，确定可行域（3）按优先级高低，依次图示目标约束，缩小满意解范围。例二、已知一个生产计划的线性规划模型为01006014021230max21212121xxxxxxxZ)()()(丙资源乙资源甲资源其中目标函数为总利润，x1,x2为产品A、B产量。现有下列目标：1、要求总利润必须超过2500元；2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过60件和100件；3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。解：以产品A、B的单件利润比2.5：1为权系数，模型如下：