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—１ —２００９年全国硕士研究生招生考试试题 一、选择题（本题共８小题，每小题４分，共３２分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（１）函数ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ３ｓｉｎπｘ的可去间断点的个数为（ ）（Ａ）１．（Ｂ）２．（Ｃ）３．（Ｄ）无穷多个．（２）当ｘ→０时，ｆ（ｘ）＝ｘ－ｓｉｎａｘ与ｇ（ｘ）＝ｘ２ｌｎ（１－ｂｘ）是等价无穷小量，则（ ）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝－１６．（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝１６．（Ｃ）ａ＝－１，ｂ＝－１６．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝１６．（３）设函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）的全微分为ｄｚ＝ｘｄｘ＋ｙｄｙ，则点（０，０）（ ）（Ａ）不是ｆ（ｘ，ｙ）的连续点．（Ｂ）不是ｆ（ｘ，ｙ）的极值点．（Ｃ）是ｆ（ｘ，ｙ）的极大值点．（Ｄ）是ｆ（ｘ，ｙ）的极小值点．（４）设函数ｆ（ｘ，ｙ）连续，则∫２１ｄｘ∫２ｘｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＋∫２１ｄｙ∫４－ｙｙｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝（ ）（Ａ）∫２１ｄｘ∫４－ｘ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．（Ｂ）∫２１ｄｘ∫４－ｘｘｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．（Ｃ）∫２１ｄｙ∫４－ｙ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ．（Ｄ）∫２１ｄｙ∫２ｙｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ．（５）若ｆ″（ｘ）不变号，且曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，１）处的曲率圆为ｘ２＋ｙ２＝２，则函数ｆ（ｘ）在区间（１，２）内（ ）（Ａ）有极值点，无零点．（Ｂ）无极值点，有零点．（Ｃ）有极值点，有零点．（Ｄ）无极值点，无零点．（６）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间［－１，３］上的图形如图所示，则函数Ｆ（ｘ）＝∫ｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ的图形为（ ）（Ａ）（Ｂ）本资料由微信公众号世纪高教在线免费提供天猫“世纪高教图书专营店”购买考研数学解析图书—２ —（Ｃ）（Ｄ）（７）设Ａ，Ｂ均为２阶方阵，Ａ∗，Ｂ∗分别为Ａ，Ｂ的伴随矩阵．若Ａ＝２，Ｂ＝３，则分块矩阵ＯＡＢＯæèçöø÷的伴随矩阵为（ ）（Ａ）Ｏ３Ｂ∗２Ａ∗Ｏæèçöø÷． （Ｂ）Ｏ２Ｂ∗３Ａ∗Ｏæèçöø÷． （Ｃ）Ｏ３Ａ∗２Ｂ∗Ｏæèçöø÷． （Ｄ）Ｏ２Ａ∗３Ｂ∗Ｏæèçöø÷．（８）设Ａ，Ｐ均为３阶矩阵，ＰＴ为Ｐ的转置矩阵，且ＰＴＡＰ＝１０００１０００２æèçççöø÷÷÷．若Ｐ＝（α１，α２，α３），Ｑ＝（α１＋α２，α２，α３），则ＱＴＡＱ为（ ）（Ａ）２１０１１０００２æèçççöø÷÷÷．（Ｂ）１１０１２０００２æèçççöø÷÷÷．（Ｃ）２０００１０００２æèçççöø÷÷÷．（Ｄ）１０００２０００２æèçççöø÷÷÷．二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）（９）曲线ｘ＝∫１－ｔ０ｅ－ｕ２ｄｕ，ｙ＝ｔ２ｌｎ（２－ｔ２）{在点（０，０）处的切线方程为．（１０）已知∫＋∞－∞ｅｋ｜ｘ｜ｄｘ＝１，则ｋ＝．（１１）ｌｉｍｎ→∞∫１０ｅ－ｘｓｉｎｎｘｄｘ＝．（１２）设ｙ＝ｙ（ｘ）是由方程ｘｙ＋ｅｙ＝ｘ＋１确定的隐函数，则ｄ２ｙｄｘ２ｘ＝０＝．（１３）函数ｙ＝ｘ２ｘ在区间（０，１］上的最小值为．（１４）设α，β为３维列向量，βＴ为β的转置．若矩阵αβＴ相似于２００００００００æèçççöø÷÷÷，则βＴα＝．三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１５）（本题满分９分）求极限ｌｉｍｘ→０（１－ｃｏｓｘ）［ｘ－ｌｎ（１＋ｔａｎｘ）］ｓｉｎ４ｘ．本资料由微信公众号世纪高教在线免费提供天猫“世纪高教图书专营店”购买考研数学解析图书—３ —（１６）（本题满分１０分）计算不定积分∫ｌｎ(１＋１＋ｘｘ)ｄｘ（ｘ＞０）．（１７）（本题满分１０分）设ｚ＝ｆ（ｘ＋ｙ，ｘ－ｙ，ｘｙ），其中ｆ具有二阶连续偏导数，求ｄｚ与２ｚｘｙ．（１８）（本题满分１０分）设非负函数ｙ＝ｙ（ｘ）（ｘ≥０）满足微分方程ｘｙ″－ｙ′＋２＝０．当曲线ｙ＝ｙ（ｘ）过原点时，其与直线ｘ＝１及ｙ＝０围成平面区域Ｄ的面积为２，求Ｄ绕ｙ轴旋转所得旋转体体积．（１９）（本题满分１０分）计算二重积分∬Ｄ（ｘ－ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２≤２，ｙ≥ｘ｝．本资料由微信公众号世纪高教在线免费提供天猫“世纪高教图书专营店”购买考研数学解析图书—４ —（２０）（本题满分１２分）设ｙ＝ｙ（ｘ）是区间（－π，π）内过点(－π２，π２)的光滑曲线．当－π＜ｘ＜０时，曲线上任一点处的法线都过原点；当０≤ｘ＜π时，函数ｙ（ｘ）满足ｙ″＋ｙ＋ｘ＝０．求ｙ（ｘ）的表达式．（２１）（本题满分１１分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，则存在点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）．（Ⅱ）证明：若函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０处连续，在（０，δ）（δ＞０）内可导，且ｌｉｍｘ→０＋ｆ′（ｘ）＝Ａ，则ｆ′＋（０）存在，且ｆ′＋（０）＝Ａ．（２２）（本题满分１１分）设Ａ＝１－１－１－１１１０－４－２æèçççöø÷÷÷， ξ１＝－１１－２æèçççöø÷÷÷．（Ⅰ）求满足Ａξ２＝ξ１，Ａ２ξ３＝ξ１的所有向量ξ２，ξ３；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ２，ξ３，证明ξ１，ξ２，ξ３线性无关．（２３）（本题满分１１分）设二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ａｘ２１＋ａｘ２２＋（ａ－１）ｘ２３＋２ｘ１ｘ３－２ｘ２ｘ３．（Ⅰ）求二次型ｆ的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型ｆ的规范形为ｙ２１＋ｙ２２，求ａ的值．本资料由微信公众号世纪高教在线免费提供天猫“世纪高教图书专营店”购买考研数学解析图书—５ —２００９年真题参考答案一、选择题（１）Ｃ． （２）Ａ． （３）Ｄ． （４）Ｃ． （５）Ｂ． （６）Ｄ． （７）Ｂ． （８）Ａ．二、填空题（９）ｙ＝２ｘ． （１０）－２． （１１）０． （１２）－３． （１３）ｅ－２ｅ． （１４）２．三、解答题（１５）１４．（１６）ｘｌｎ(１＋１＋ｘｘ)＋１２ｌｎ（１＋ｘ＋ｘ）－ｘ２（１＋ｘ＋ｘ）－Ｃ，其中Ｃ为任意常数．（１７）ｄｚ＝（ｆ′１＋ｆ′２＋ｙｆ′３）ｄｘ＋（ｆ′１－ｆ′２＋ｘｆ′３）ｄｙ．２ｚｘｙ＝ｆ′３＋ｆ″１１＋（ｘ＋ｙ）ｆ″１３－ｆ″２２＋（ｘ－ｙ）ｆ″２３＋ｘｙｆ″３３．（１８）１７π６．（１９）－８３．（２０）ｙ（ｘ）＝π２－ｘ２，ｘ∈（－π，０），πｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ－ｘ，ｘ∈［０，π）．{（２１）证明略．（２２）（Ⅰ）满足Ａξ２＝ξ１的所有向量为ξ２＝ｋ１（１，－１，２）Ｔ＋（０，０，１）Ｔ，其中ｋ１为任意常数；满足Ａ２ξ３＝ξ１的所有向量ξ３为ξ３＝ｋ２（１，－１，０）Ｔ＋ｋ３（０，０，１）Ｔ＋－１２，０，０()Ｔ，其中ｋ２，ｋ３为任意常数．（Ⅱ）证明略．（２３）（Ⅰ）ａ，ａ－２，ａ＋１．（Ⅱ）ａ＝２．本资料由微信公众号世纪高教在线免费提供天猫“世纪高教图书专营店”购买考研数学解析图书