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高三数学二轮复习三角函数教学建议金陵中学张松年一、考试要求考点与能级要求基本没有变化．内容要求ABC1．基本初等函数Ⅱ(三角函数)、三角恒等变换三角函数的有关概念√同角三角函数的基本关系式√正弦、余弦的诱导公式√正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质√函数的图象和性质√两角和(差)的正弦、余弦和正切√二倍角的正弦、余弦和正切√积化和差、和差化积、半角公式√2．解三角形正弦定理、余弦定理及其应用√二、命题走向以基础知识，基本方法为主，降低对三角恒等变形的考查要求，难度较小，位置靠前，重点突出．三、考试要求1．理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算．2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式．3．了解周期函数与最小正周期的意义;了解奇函数、偶函数的意义．4．掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式．5．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．6．了解正(余)弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的函数的简图，理解A，ω的物理意义．7．掌握正弦定理、余弦定理，并运用它们解决三角形中的计算、判定、证明问题．四、复习目标：1．清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性与周期性．2．会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期．3．会结合三角函数线、三角函数图像的对称性，解决一些问题．4．会用三角恒等变换公式化简三角函数式．5．熟练运用三角形中的三角函数．五、高考考点层次分析高考中三角部分所占分值在20分左右，主要以填空题和解答题的形式出现．主要考察内容按综合难度分，有以下三个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题．如判断函数值的符号，求定角的三角函数值，求函数的周期，判断函数的奇偶性、单调区间等．第二层次：三角公式变形中的某些常用技巧的运用．如辅助角公式、切化弦等．第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题．如求分段函数值，复合函数值域等．六、基本题型与策略基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．基本题型二：考查经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质．基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．基本题型四：考查三角函数的图像变换与解析式．基本题型五：考查三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用．基本题型六：考查三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．基本题型七：三角函数性质的一般化．基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．例1计算：tan2010°＝___________．说明：利用商数关系、正弦、余弦的诱导公式、商数关系化为tan30°，或直接利用正切函数的周期性化为tan30°．例2若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是___________象限．说明：利用正弦的倍角公式化为cosθ＞0，sinθ＜0．例3设a＝sin5π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则a，b，c的大小关系是____________．说明：利用诱导公式化为a＝sin2π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7．例4(1)函数f(x)＝sin(πx－π3)－1的最小正周期为___________；(2)若函数f(x)＝cos(x－π6)(＞0)的最小正周期为π5，则＝____________．说明：直接利用周期公式．课本只给出了函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，＞0，0≤φ＜2π)的周期公式．基本策略：(1)求定角的三角函数值，常用诱导公式化为锐角的三角函数值，特点是“奇变偶不变，符号看象限”；(2)判定一个角的位置，要用这个角的两个三角函数值的符号来判定；(3)比较几个三角函数值的大小，常常化为锐角的同名三角函数值比较大小，或化为同一个锐角的三角函数值比较大小，找一个中间量，如的三角函数值；(4)利用周期公式求函数的最小正周期时，要掌握掌握正弦、余弦、正切的周期；(5)要能熟练地写出正弦、余弦、正切函数的单调区间．例5函数f(x)＝sin(2x－π3)－1，x∈[0，π]的单调增区间为_____；说明：将2x－π3看作一个变量t，求出t的范围，结合t＝2x－π3是x单调增函数，求y＝sint的单调增区间与t的值域的交集．基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质．例6计算：tan70ocos10o＋3sin10otan70o－2cos40o＝________________．说明：提取tan70o，利用辅助角公式．例7若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝___________．说明：设π6－α＝β，则α＝π6－β，从而2π3＋2α＝π－2β．利用倍角公式．例8函数f(x)＝sin(πx－π2)－1的奇偶性为___________；说明：f(x)＝－cosx－1．基本策略：(1)切化弦、和差公式的逆应用；(2)已知组合角的三角函数值，求另一个组合角的三角函数值，常常用对用已知值的角线性表示未知值的角；(3)对于与三角函数有关的函数奇偶性的判别，一般先化简，再结合正弦、余弦函数的奇偶性进行判别．基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．例9(1)已知tan(π4＋α)＝2，求12sinαcosα＋cos2α的值．(2)已知tan(π4＋α)＝12．(Ⅰ)求tanα的值；(Ⅱ)求sin2α－cos2α1＋cos2α的值．说明：(1)由tan(π4＋α)＝2，求出tanα＝13，从而cosα＝3sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α＝110，从而2sinαcosα＋cos2α＝6sin2α＋9sin2α＝15sin2α＝32．例10已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[π4，π]，求sin(2α＋π3)的值．说明：cosα＝2sinα或cosα＝－32sinα．因为α∈[π4，π]，所以sinα＞0，cosα＞0，所以cosα＝2sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α＝15，从而sin(2α＋π3)＝12sin2α＋32cos2α＝sinαcosα＋32(1－2sin2α)＝sin2α＋32＝15＋32．例11函数f(x)＝sin2(x＋π4)－sin2(x－π4)的最小正周期是_______，奇偶性是______．说明：f(x)＝sin2(x＋π4)－sin2(x－π4)＝cos2(x－π4)－sin2(x－π4)＝cos2(x－π4)＝－cos2x．例12求函数y＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．说明：先化简，y＝sin4x－cos4x＋23sinxcosx＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x)＋23sinxcosx＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－π3)，在分别求最小正周期、最小值以及在[0，π]上的单调递增区间．基本策略：(1)单角的“切”给出了“弦”的比例关系，是“明线”，而“弦”的平方关系是“暗线”，利用这两个关系，可以求出单角“弦”的平方，从而求出倍角的“弦”；(2)利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx＋φ看作是一个角的大小，结合y＝sinx的单调区间和ωx＋φ关于x的单调性进行判断．基本题型四：三角函数的图像变换与解析式．例13把函数y＝sinx，x∈R的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是_____．说明：sinx→sin(x＋π3)→12sin(x＋π3)．例14将函数y＝sin(2x＋π3)的图象按向量a＝(m，0)(其中|m|≤π)平移后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称，则m＝____________．说明：y＝sin(2x＋π3)→y＝sin[2(x－m)＋π3]＝sin(2x＋π3－2m)．令2×(－π12)＋π3－2m＝kπ，得m＝12(16－k)π(k∈Z)．由|m|≤π，得k＝0，故m＝π12．方法二：函数y＝sin(2x＋π3)的周期是π，图象的一个对称中心为(－π6，0)，从而m＝π12．例15若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．说明：方法一由图知T＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ－π6，k∈Z．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6．方法二由图知T＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，所以f(x)的图像可以看作是sinx的图像向右移了π6个单位，即向左移了11π6个单位．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6．12π3yx－π3O基本策略：根据函数的图像先确定振幅A，再确定周期T．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f(x)的形式，再分别按照f(x)→f(x－a)，f(x)→f(ωx)，f(x)→f(x)＋k，f(x)→Af(x)的变化特征写出变换后的函数解析式．基本题型五：三角形中的三角函数与正弦、余弦定理的应用．例16(1)在ΔABC中，“A＞30º”是“sinA＞12”的___________条件．(2)在ΔABC中，已知BC＝12，A＝60o，B＝45o，则AC＝___________．说明：(1)必要不充分条件；(2)利用正弦定理，先求出AC，再利用正弦定理或余弦定理求出．例17设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝35c．(Ⅰ)求tanAcotB的值；(Ⅱ)求tan(A－B)的最大值．说明：利用正弦定理转化为三角函数的等式．例18(08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．说明AODBCHAODBCAODBC例19(07海南·宁夏)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得CD＝s，BCD＝α，CDB＝β，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．说明先在△BCD中求出BC，再在△ABC中求出AB．αβθ基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是三角形全等的条件．基本题型六：三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．例20已知向量a＝(cos32x，sin32x)，b＝(cos12x，－sin12x)，且x∈[0，π2]．(Ⅰ)求a·b及|a＋b|；(Ⅱ)若f()＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．说明(Ⅰ)a·b＝cos32xcos12x－sin32xsin12x＝cos2x，x∈[0，π2]．|a＋b|＝(a＋b)2＝2＋2cos2x＝2|cosx|＝2cosx，x∈[0，π2]．(Ⅱ)f()＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－4λcosx－1