2018届徐汇区高考数学一模

第1页2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学2017.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合2,3,1,2,ABa，若AB，则实数a_________．2．在复平面内，复数54ii（i为虚数单位）对应的点的坐标为_______．3．函数()1lgfxx的定义域为__________．4．二项式41()2xx的展开式中的常数项为_________．5．若42021xx，则x_____________．6．已知圆22:1Oxy与圆'O关于直线5xy对称，则圆'O的方程是_______．7．在坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点13(,)22A，将OA绕原点按顺时针方向旋转2，得到'OA，则'OA的坐标为_______．8．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30方向，与A相距6.0海里.船由A向正北方向航行8.1海里到达C处，这时灯塔B与船相距_______海里．（精确到0.1海里）9．若公差为d的等差数列{}nanN满足0143aa，则公差d的取值范围是_______．10．著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,na…，满足12211,nnnaaaaanN，那么357920171aaaaa…是斐波那契数列中的第_____项．11．若不等式1)1(3)1(1nann对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是______．12．已知函数)(xfy与)(xgy的图像关于y轴对称，当函数)(xfy与)(xgy在区间],[ba上同时递增或同时递减时，把区间],[ba叫做函数)(xfy的“不动区间”，若区间]2,1[为函数|2|tyx的“不动区间”，则实数t的取值范围是_______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知是ABC的一个内角，则“2sin2”是“045”的--------()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件第2页14．下列命题中，假命题的是--------------------------------------------------------()(A)若z为实数，则zz(B)若zz，则z实数(C)若z为实数，则zz为实数(D)若zz为实数，则z为实数15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为--（）（A）3353PP（B）863863PPP（C）3565PP（D）8486PP16．如图，棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，E为1CC的中点，点P、Q分别为面1111DCBA和线段CB1上动点，则PEQ周长的最小值为()(A)22(B)10(C)11(D)12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图，梯形ABCD满足//ABCD,90ABC,且23,1ABBC,30BAD，现将梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周，所得几何体记作．(1)求的体积V；(2)求的表面积S．DCABABCD1A1B1C1DQEP第3页18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图是函数)sin()(xAxf(0A，0，20)图像的一部分，M、N是它与x轴的两个交点，C、D分别为它的最高点和最低点，)1,0(E是线段MC的中点．（1）若点M的坐标为1,0，求点C、点N和点D的坐标；（2）若点M的坐标为,00mm，且2344MCMD，试确定函数)(xf的解析式．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数||3,0mfxxmRxx．（1）判断函数()yfx的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数()yfx的零点个数．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)已知椭圆2222:1xyab(0ba)的左、右焦点分别为1F、2F，且1F、2F与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点)23,22(P在椭圆上，过点2F作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB、CD分别交椭圆于A、B、C、D，且M、N分别是弦AB、CD的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：直线MN过定点2,03R；(3)求2MNF面积的最大值．xyDCBA2FMNO1FyxCEMOND第4页21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)设等差数列}{na的公差为1d，等差数列}{nb的公差为2d，记},,,max{2211nabnabnabcnnn(,3,2,1n)，其中},,,max{21sxxx表示sxxx,,,21这s个数中最大的数．（1）若2nan，42nbn，求321,,ccc的值，并猜想数列nc的通项公式（不必证明）；（2）设nan，2nbn，若不等式ncccnn221212132对不小于2的一切自然数n都成立，求的取值范围；（3）试探究当无穷数列}{nc为等差数列时，1d、2d应满足的条件并证明你的结论．第5页2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准2017.12一．填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分１．32．(4,5)3．0,104．325．16．22(5)(5)1xy7．31(,)228．4.29．),2[]2,(10．201811．)38,3[12．1,22二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）13．B14．D15．C16．B三．解答题：（本大题共5题，满分74分）17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)【解】（1）过D作//DEBC交AB于E由已知1,3,2EDBCAEEBAB于是22141313333V．--------------7分（2）212123323S．-------14分18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）设,CCCxy，由中点坐标公式得100,1,1,222CCCCxyxy于是1,2C、3,0N、5,2D．------------------------6分（2）同样由)1,0(E是线段MC的中点，得2A，)2,(mC，)2,5(mD，于是4122mMDMC，-----------------8分由条件2344MCMD可求得4m，由282Tm，得1，进而求得4，因此函数)(xf的解析式为()2sin()4fxx．-----------14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)当0m时，||3fxx，此时()()fxfx，所以()fx是偶函数，当0m时，12,12,11,11fmfmffff所以)(xf既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………6分DCABEyxCEMOND第6页（2）由0fx，可得300xxxmx变为30mxxxx令222239,03,024()3||3,039,024xxxxxgxxxxxxxxx，-----8分作ygx的图像及直线ym，由图像可得：当94m或94m时，()yfx有1个零点．-----------------------10分当94m或0m或94m时，()yfx有2个零点；---------------12分当904m或904m时，()yfx有3个零点------------------14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)【解】(1)因为21FQF是等腰直角三角形，所以cb，则ba2，把点)23,22(P代入椭圆方程，得2a，1b，故椭圆C的标准方程为1222yx----------------------4分(2)设直线AB的方程为1myx，不妨设0m，点),(11yxA、),(22yxB由11222myxyx，得012)2(22myym，则22221mmyy，242)(22121myymxx，则)2,22(22mmmM------------------7分解法一、22222130332,,22212112123MRNRmmmmmkkmmmm所以MRNRkk，故直线MN恒过定点2(,0)3R．----------------------------------10分解法二、同理，可得)21,212(222mmmmN，所以直线MN的方程为2)22()1(23222mmmxmmyxyDCBA2FMNO1F第7页即)23)(2()2(2324xmmymm，故直线MN恒过定点2(,0)3R．10分(3)22222)2()122(||mmmMF2224mmm，同理2)1()1()1(||2242mmmNF2MNF面积||||2122NFMFS=2)1(412mmmm，设21mmt，91241242ttttS，当且仅当2t即1m时，2MNF面积取最大值91．16分21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)【解】(1)1231232,4,6,2,6,10aaabbb当1n时，111maxmax00cba当2n时，21122max2,2max2,22cbaba当3n时，3112233max3,3,3max4,6,84cbababa1230,2,4ccc，猜想22ncnnN．----------------4分(2)当kN，且2kn时，1110kkkkbnabnan所以},,,max{2211nabnabnabcnnnnabnn=2)1(nn故nncccn)1(132121121212132n11----7分由题意得nnn211即nn21对不小于2的一切自然数n都成立．设nnnp21，则022212111nnnnnnnnpp故max231()4nppp，所以的取值范围为14．----------------10分(3)当kN，且2kn时，111121kkkkkkkkbnabnabbnaadnd．下面分1110,0,0ddd三种情况进行讨论，①若10d，则112kkkkbnabnad第8页于是当20d时，1120kkkkbnabnad，则对于任意给定的正整数n，11111,1nncbnacbna，此时11nncca，数列nc是等差数列；