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1.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABCD（AB﹥AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图1）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片得到△AEF(如图2),小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.解：（1）同意。如图，设AD与EF交于点G。由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。又由折叠知，∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形。(2)实践与运用:将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为EF(如图3);再沿着过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D处,折痕为EG(如图4);再展平纸片(如图5),求图5中∠α的大小。（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以，∠BED=135°,又由折叠知,∠BEG=∠DEG,所以∠DEG=67.5°.从而有∠α=90°－67.5°=22.5°.2.在数学课本中有这样一个问题：如图,要在河边修建一个水泵站,向张庄、李庄送水.修在河边什么地方,可使使用的水管最短？ABbaPA′数学思想：转化思想，目的是“化折为直”变式：如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近.baAB分析：ABbaCDA'分析：抛开不变的量对你的干扰ABbaCDA'解答：解后反思：作图时，应由不变的“量”来确定变化的“量”变式：如图,A、B是直线L同侧的两定点,定长线段PQ在L上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？ABaPQ变式：如图,A、B是直线L同侧的两定点,定长线段PQ在L上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？PQABaPQA'分析：变式：如图,A、B是直线L同侧的两定点,定长线段PQ在L上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？PQABaA'A''PQ解答：变式：如图,A、B是直线L异侧的两定点,定长线段PQ在L上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？PQABaA'PQ解答：（3）实践运用如图，已知⊙O的直径CD为4，弧AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．A′p（4）拓展延伸如图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使得∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．pB'分析：B'p解答：■如图,OA、OB是两条相交的公路,点P是一个邮电所,现想在OA、OB上各设立一个投递点,要想使邮电员每次投递路程最近,问投递点应设立在何处？EFNMOPAB变式1：OA'B'PQ变式2：